Argumente für / gegen Kolmogorovs Vermutung über die Schaltungskomplexität von P

Nach (unbestätigter) historischer Darstellung hat Kolmogorov angenommen, dass jede Sprache in $\mathsf{P}$ eine lineare Schaltungskomplexität hat. (Siehe die frühere Frage Kolmogorovs Vermutung, dass $P$ lineare Schaltkreise hat .) Beachten Sie, dass dies impliziert $\mathsf{P}\neq \mathsf{NP}$.

Kolmogorovs Vermutung dürfte jedoch scheitern. Zum Beispiel schreibt Ryan Williams in einem kürzlich erschienenen Artikel: "Die Vermutung wäre überraschend, wenn sie wahr wäre. Für Sprachen in $\mathsf{P}$ die $n^{100^{100}}$ Zeit benötigen , erscheint es unwahrscheinlich, dass die Komplexität solcher Probleme auf magische Weise auf $O(n)$ Größe schrumpfen würde. nur weil für jede Eingangslänge eine andere Schaltung entworfen werden kann. "

Andererseits ist Andrey Kolmogorov (1903-1987) weithin als einer der führenden Mathematiker des 20. Jahrhunderts anerkannt. Es ist kaum vorstellbar, dass er eine völlig absurde Vermutung aufgestellt hätte. Um es besser zu verstehen, habe ich versucht, einige Argumente zu finden, die seine überraschende Vermutung stützen könnten. Folgendes könnte ich mir ausdenken:

$\mathsf{P}\not\subseteq \mathsf{SIZE}(lin)$$L\in \mathsf{P}$$L$

1. Es gibt einen bekannten expliziten Algorithmus (Turing-Maschine), der akzeptiert . Daraus können wir eine explizite Funktionsfamilie konstruieren, die eine superlineare Schaltungskomplexität haben muss. Dies kann jedoch als unwahrscheinlich angesehen werden, da niemand in mehr als 60 Jahren intensiver Forschung an Schaltkreisen ein solches Beispiel finden konnte.$L$

2. Es ist kein expliziter Algorithmus für . Zum Beispiel wird seine Existenz mit nicht konstruktiven Mitteln wie dem Axiom of Choice bewiesen. Oder selbst wenn der explizite Algorithmus existiert, konnte ihn niemand finden. Angesichts der Tatsache, dass es unendlich viele Sprachen gibt, die die Rolle von , ist es unwahrscheinlich, dass sie sich alle so unfreundlich verhalten.$L$$L$

Wenn wir jedoch beide Optionen als unwahrscheinlich abtun, besteht die einzige verbleibende Möglichkeit darin, dass ein solches nicht existiert. Das bedeutet , was genau Kolmogorovs Vermutung ist.$L$$\mathsf{P}\subseteq \mathsf{SIZE}(lin)$

Frage: Können Sie sich weitere Argumente für / gegen Kolmogorovs Vermutung vorstellen?

Die Fußnote meines Beitrags, den Sie zitieren, bezieht sich zumindest auch auf ein heuristisches "Argument", das wir für Kolmogorovs Intuition halten - die positive Lösung von Hilberts dreizehntem Problem.

http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert's_thirteenth_problem

Insbesondere wurde von Kolmogorov und Arnold bewiesen, dass jede stetige Funktion auf Variablen als eine Zusammensetzung von "einfachen" Funktionen ausgedrückt werden kann : Addition von zwei Variablen und stetige Funktionen auf einer Variablen. Daher hat über die "Basis" von einvariablen stetigen Funktionen und einer Addition von zwei Variablen jede stetige Funktion auf Variablen eine "Schaltungskomplexität" .$n$$O(n^2)$$n$$O(n^2)$

Es scheint, dass Kolmogorov glaubte, es gäbe ein diskretes Analogon, bei dem "stetig in Variablen" zu "boolesch in Variablen und poly -Zeit berechenbar" wird und bei dem die oben angegebene "Basis" zu zwei variablen booleschen Funktionen wird.$n$$n$$(n)$

Die Antwort von Stasys auf die vorherige Frage bietet eine mögliche Unterstützung: /cstheory//a/22048/8243 . Ich werde versuchen, es hier noch einmal zu wiederholen, so wie ich es verstehe. Die Schlüsselintuition besteht darin, eine Schaltung nicht als Algorithmus, sondern als Codierung einer Menge (der Menge, die sie akzeptiert) anzusehen. Wir können eine Obergrenze für die Codierungsgröße durch die Laufzeit des Algorithmus ermitteln ( dh eine Zeit TM in eine Größen- Schaltung umwandeln ), aber es ist nicht klar, welche umgekehrte Beziehung bestehen sollte. Befindet sich eine Sprache in , bedeutet dies möglicherweise, dass die Mitgliedschaft "lokal" genug ist, um sehr präzise codiert zu werden.$t$$t$$\mathsf{P}$

Das heißt, die Zugehörigkeit zu ist eine Aussage über die Laufzeit eines Algorithmus, wohingegen lineare Schaltungen (möglicherweise) eine Aussage über die Codierungsgröße von Sätzen von Wörtern fester Länge sind. Beides sind Aussagen über die Einfachheit der Sprache, aber sie leben in vielleicht ganz unterschiedlichen Welten.$\mathsf{P}$

Eine weitere Intuition Stasys erwähnt stammt aus dem „-Anzeige string“ einer Sprache, die ließen sich als unendliche Zeichenfolge formalisieren wobei Bit ist , wenn die - te lexicographic String in der Sprache und ist sonst. Ein (polytime) TM für die Sprache ist ein (schnelles) Orakel für den String - wenn binär angegeben wird, wird das te Bit erzeugt. Ein (linearer) Schaltkreis für Eingänge der Länge ist ein (prägnantes) Orakel für das Präfix der Länge des Strings. Die Vermutung wird "jede unendliche Zeichenkette, die ein" schnelles "Orakel hat, hat" prägnante "Präfix-Orakel."$j$$1$$j$$0$$j$$j$$n$$2^n$

Keine der obigen erklärt, warum und "linear" die richtigen Parameter für die Anweisung sind, aber ich denke, sie zeigen, dass es eine natürliche Intuition gibt - dass Schaltungen wie Algorithmen und kompliziertere Algorithmen dies erfordern ähnlich komplizierte Schaltungen - könnten irreführend sein.$``\mathsf{P}"$