Bedeutet Kannans Theorem, dass NEXPTIME ^ NP ⊄ P / poly?

Ich las einen Artikel von Buhrman und Homer „Superpolynomial Circuits, Almost Sparse Oracles and the Exponential Hierarchy“ .

$NEXPTIME^{NP}$ $NEXPTIME^{NP}$ $\Sigma_2EXP$ $\forall c\mbox{ }\exists L\in\Sigma_2P$ , so dass $L \not\in Size(n^c)$ $\Sigma_2P \not\subset P/poly$ $\exists L\in\Sigma_2P$ $\forall c$ $L \not\in Size(n^c)$ $NEXPTIME^{NP} \not\subset P/poly$

— Gilles 'SO - hör auf böse zu sein'
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Vielleicht ist das besser für cstheory.se geeignet.

— Yuval Filmus

@YuvalFilmus Ok, danke. Wenn ein Moderator der Meinung ist, dass dies für cstheory.se angemessener ist, können Sie es gerne verschieben.

Dies ist derzeit auch bei der CS354-Problematik der Fall ...: - / ... Ich habe die Schüler ausdrücklich angewiesen, nicht im Internet nachzufragen. "Lorraine" hofft also besser, dass sie nicht an meiner Klasse teilnehmen.

— Ryan Williams

@Sasho, ich denke, es wäre gut, dies zumindest bis nach dem Fälligkeitsdatum der Zuordnung zu tun.

— Kaveh

@Turbo Ich denke, ich könnte genauso gut, hoffentlich ist dies im Moment nicht das Problem eines anderen.

— Sasho Nikolov

Diese Version der Antwort enthält Feedback von Emil Jeřábek.

Soweit ich sehen kann, besteht die Hauptverdrehung darin, dass es in eine Sprache mit exponentieller Schaltungskomplexität gibt. Legen Sie insbesondere eine binäre Codierung von Booleschen Schaltkreisen fest und definieren Sie als die durch definierte Sprache $\mathsf{EXP}^{\Sigma^\mathsf{P}_2}$ $L$

wird von keiner Schaltung der Größe , und $L_n$ $2^{n/2}$

Jede Sprache die lexikographisch vorausgeht, wird von einer Schaltung einer Größe von höchstens . $L'_n \subseteq \{0,1\}^n$ $L_n$ $C$ $2^{n/2}$

wobei die Notation die Schicht $L_n$ $L_n = L \cap \{0,1\}^n$ .

Um dies in exponentieller Zeit mit einem -Orakel zu tun , können Sie die binäre Suche über Teilmengen von (stellen Sie sich diese als Bit-Ganzzahlen vor) verwenden, um die erste solche Menge mit einer Schaltungskomplexität . Sie behalten einfach die aktuelle Schätzung von bei und testen mit dem Orakel, ob ein einer Schaltungskomplexität von mindestens . Da dies eine Maschine in $\Sigma_2^\mathsf{P}$ $\{0,1\}^n$ $2^n$ $> 2^{n/2}$ $L_n$ $L'_n \prec_{\text{lex}} L_n$ $2^{n/2}$ das die gesamte Schicht aufschreibt, können wir natürlich auch über die Zugehörigkeit zu und damit zu. $\mathsf{EXP}^{\Sigma^\mathsf{P}_2}$ $L_n$ $L_n$ $L$

Dies ist sehr ähnlich wie in Kannans Argument, aber skaliert und rationalisiert, um die Exponentialzeit zu verwenden. Dann sollten Sie eine vergrößerte Version des Karp-Lipton zu verwenden, um Satz zu zeigen , dass , wenn , dann und Sie können die Fallanalyse in Kannans Beweis durchführen. $\mathsf{NEXP} \subseteq \mathsf{P/poly}$ $\mathsf{EXP}^{\Sigma^\mathsf{P}_2} \subseteq \mathsf{NEXP}^{\mathsf{NP}}$

— Sasho Nikolov
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AFAICS Ihre Beschreibung gibt direkt eine

Sprache, anstatt

. EXPΣP2 $\mathrm{EXP}^{\Sigma^P_2}$

NEXPΣP3 $\mathrm{NEXP}^{\Sigma^P_3}$

— Emil Jeřábek unterstützt Monica

@ EmilJeřábek Mein Gehirn war nie in der Lage, Orakelmaschinen zu verarbeiten. I Quantifizierertiefe vier:

ist in

wenn eine Schaltung

der Größe

so dass

und [für alle Schaltungen

der Größe

dort existiert ein Wort

für das

w∈{0,1}n $w \in \{0,1\}^n$

L $L$

C∗ $C^*$

≤2n $\le 2^n$

C∗(w)=1 $C^*(w) = 1$

C $C$

2n/2 $2^{n/2}$

w′∈{0,1}n $w' \in \{0,1\}^n$

] und [für alle

, die

in lex-Reihenfolgevorangehen, existiertfür alle

ein Kreis

einer Größe von höchstens

]. Dies scheint die vierte Ebene der exponentiellen Hierarchie zu sein. Was ist es in Orakelnotation? C(w′)≠C(w) $C(w') \neq C(w)$

C′ $C'$

C∗ $C^*$

C′′ $C''$

2n/2 $2^{n/2}$

w′∈{0,1}n $w' \in \{0,1\}^n$

C′(w′)=C′′(w′) $C'(w') = C''(w')$

— Sasho Nikolov

Erstens, "es gibt ein Wort ..." und der ähnliche universelle Quantifizierer am Ende zählt nicht, da sie eine lineare Größe haben, daher können sie deterministisch in exponentieller Zeit berechnet werden. Zweitens kann der äußerste Quantifizierer unter Verwendung der binären Suche deterministisch in exponentieller Zeit simuliert werden.

— Emil Jeřábek unterstützt Monica

Das heißt, der lexikographisch erste Boolesche Funktion

auf

Eingänge , die NICHT - Schaltungen von der Größe hat

durch exponentielle Zeit binäre Suche mit Oracle für das Prädikat „existiert eine Funktion gefunden werden kann

lexikographisch vorhergehenden

die nicht ist berechenbar mit einer Schaltung der Größe

". f $f$

n $n$

2n/2 $2^{n/2}$

f′ $f'$

f $f$

2n/2 $2^{n/2}$

— Emil Jeřábek unterstützt Monica

@SashoNikolov Es funktioniert also immer noch, seit

. Wir können jedoch nicht verwenden, wenn

dann Karp-Lipton in anwenden cstheory.stackexchange.com/questions/39837/... . Wir haben also

$EXP^{\Sigma_2^P}\subseteq NEXP^{\Sigma_3^P}$

$NEXP\subseteq i.o.P/poly$

$EXP^{PP}\not\subseteq i.o.P/poly$ und

. Dies funktioniert nicht für

. $NEXP^{\Sigma_3^P}\not\subseteq i.o.P/poly$

$NEXP^{NP}$

— T ....