Vergleichen von zwei Algorithmen für das 3SUM-Problem über Ganzzahlen

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Die Arbeit "Subquadratic Algorithms for 3SUM" von Ilya Baran, Erik D. Demaine und Mihai Patrascu hat die folgende Komplexität für die

3SUM Problem: Geben Sie eine Liste $L$ von $n$ ganzen Zahlen an, wenn es $x,y,z \in L$ so dass $x+y=z.$

$w-$ $O(n^2/ \max\{w \log w, \log n (\log \log n)^2 \})$ $AC0$ $O(n^2/ w^2 \log w)$ $O(n^2/(MB))$ $O(n^2/ MB \log M )$

Kürzlich hat eine Veröffentlichung "Threesomes, Degenerates and Love Triangles" von Grondlund und Pettie bewiesen, dass "die Komplexität des Entscheidungsbaums von 3SUM ist und dass dies der Fall ist ein randomisierter 3SUM-Algorithmus, der in läuft, und ein deterministischer Algorithmus, der in läuft Zeit. $O(n^{3/2}\sqrt{\log n})$ $O(n^2(\log \log n)^2/\log n)$ $O(n^2(\log \log n)^{5/3}/(\log n)^{2/3})$

Diese Ergebnisse widerlegen die stärkste Version der 3SUM-Vermutung, nämlich dass die Komplexität des Entscheidungsbaums (und des Algorithmus) $Ω(n^2)$ .

Siehe dieses zweite Papier hier .

Beides sind natürlich wichtige Papiere. Da ich kein Experte auf diesem Gebiet bin, geht es bei meiner Frage darum, wie sich die Auswirkungen und die Bedeutung beider Modelle angesichts der unterschiedlichen Komplexitätsmodelle vergleichen lassen. Weitere aufschlussreiche Kommentare zu diesem Problem sind ebenfalls willkommen. Hatte zum Beispiel die erste Veröffentlichung bereits die Bindung von $\Omega(n^2)$ ?

cc.complexity-theory ds.algorithms

— kodlu
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Hier sind einige Punkte, die dazu beitragen, die neuen Ergebnisse in die richtige Perspektive zu rücken.

Das Ergebnis der Entscheidungsbaumkomplexität ist groß. Eine Angriffslinie (und Jeff Erickson kann mehr dazu sagen) bestand darin, die Grenze von 3SUM zu senken, indem die Entscheidungskomplexität des Problems (dh die Anzahl der zur Lösung des Problems erforderlichen Vergleiche) untersucht wurde. Die Hoffnung war, dass etwas in der Nähe von erreichbar war. $\Omega(n^2)$

Dieses Ergebnis zerstört dieses Argument entscheidend mit einem gebundenen . Beachten Sie, dass dies nichts über die wahre Komplexität des Problems aussagt. Es heißt, dass eine untere Grenze eines Entscheidungsbaums nicht passieren wird. Und das lässt (zusammen mit anderen Beweisen) Zweifel an der Grundannahme aufkommen, dass 3SUM "moralisch" in der Nähe von . $O(n^{3/2})$ $n^2$

Das algorithmische Ergebnis ist bedingungslos subquadratisch (dh nicht in einem wortparallelen Modell). Das ist eine große Sache, obwohl man sich wohl darüber streiten könnte, dass es nicht für ein konstantes . $O(n^{2-\epsilon})$ $\epsilon$

Wie @domotorp sagt, könnte dies der Beginn einer Reihe neuer Ergebnisse sein. Es ist wirklich schwer zu sagen. Die aktuelle Obergrenze ergibt sich aus der "Neuimplementierung" des Entscheidungsbaumalgorithmus mit einigen Zaubertricks von Timothy Chan. Es ist denkbar, dass dies weiter vorangetrieben werden könnte.

— Suresh Venkat
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Jeff Erickson kann mehr dazu sagen - eigentlich nicht viel mehr zu sagen. Ich habe bewiesen, dass ein natürliches Entscheidungsbaummodell Tiefe erfordert ; Das neue Papier zeigt, dass bei einem etwas stärkeren Modell die Tiefe ausreicht. Im Nachhinein sollte dieses Ergebnis angesichts der Ergebnisse von Fredman und Chan bei der Sortierung von X + Y und kürzesten Wegen nicht überraschen. Aber es schließt eine natürliche Angriffslinie vollständig aus. Wie ich Seth sagte, bin ich gleichzeitig unglaublich erleichtert und unglaublich eifersüchtig.

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

O (n^{3 / 2})

$O(n^{3/2})$

— Jeffs

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Die erste Arbeit gibt im Wesentlichen einen subquadratischen Algorithmus an, wenn wir wissen, dass jede Eingangsnummer Bits hat und wir zwei Bit-Nummern in einem Schritt hinzufügen können . Dies war kein sehr überraschendes Ergebnis und schloss eine -Grenze nicht aus. $w$ $w$ $\Omega(n^2)$

Die zweite Arbeit verwendet keine solchen Annahmen und verbessert den Exponenten von für Entscheidungsbäume, was eine Überraschung ist, obwohl nicht so groß wie für alle Algorithmen, für die sie sich nur geringfügig verbessert haben (was die stärkste Vermutung widerlegt). . Ich würde vermuten, dass weitere Ergebnisse in Kürze folgen werden. $n$

— domotorp
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Ich bin mit beiden Antworten zufrieden, konnte aber nur eine annehmen, also habe ich die detailliertere angenommen.

— Kodlu