Rechenkomplexität von pi

Lassen

$L = \{ n : \text{the }n^{th}\text{ binary digit of }\pi\text{ is }1 \}$

(wobei n als binär codiert angesehen wird). Was können wir dann über die rechnerische Komplexität von L sagen ? Es ist klar , dass L ∈ E X P . Und wenn ich mich nicht irre, die erstaunlich „BBP-Typ“ Algorithmen zur Berechnung der n t h Bit von π mit quasilinearen Zeit und ( log n ) O ( 1 ) Speicher, ohne dass die vorherige Bits, die Ausbeute berechnen L ∈ P S P A C E .$n$$L$$L\in\mathsf{EXP}$$n^{th}$$\pi$$(\log n)^{O(1)}$$L\in\mathsf{PSPACE}$

Können wir es noch besser machen und L (sagen wir) in der Zählhierarchie platzieren? In der anderen Richtung ergibt sich für L überhaupt eine Härte (auch eine extrem schwache wie T C 0 -Härte)?$L$$L$$\mathsf{TC}^0$

Eine interessante verwandte Sprache ist

$L' = \{ \langle x,t\rangle : x\text{ occurs as a substring within the first }t\text{ digits of }\pi \}$

(wobei wiederum t binär geschrieben ist). Wir haben$t$

$L' \in \mathsf{NP}^L$

und daher L ' ≤ P S P A C E ; Es würde mich sehr interessieren, wenn etwas Besseres bekannt ist.$L' \in \mathsf{PSPACE}$

OK, James Lee hat mich auf diesen Artikel von Samir Datta und Rameshwar Pratap aus dem Jahr 2011 hingewiesen , der beweist, dass meine Sprache L (die die Ziffern von π codiert ) in der vierten Ebene der Zählhierarchie liegt ( P H P P P P P P ; danke an SamiD unten für den Hinweis auf ein fehlendes P P in der Zeitung, das ich in meiner Antwort einfach wiederholt habe!). Das Papier diskutiert auch explizit meine Frage der unteren Schranken der Komplexität der Berechnung der Binärziffern irrationaler Zahlen, obwohl es nur gelingt, eine sehr schwache untere Schranke für die Berechnung der Binärziffern rationaler Zahlen zu beweisen$L$$\pi$$\mathsf{PH}^{\mathsf{PP}^{\mathsf{PP}^{\mathsf{PP}}}}$$\mathsf{PP}$zahlen. Genau das habe ich gesucht.

Update (3. April): Eine amüsante Folge davon, dass die Ziffern von π in der Zählhierarchie berechenbar sind, ist wie folgt. Angenommen, π ist eine normale Zahl (deren binäre Expansion schnell zu "effektiv zufällig" konvergiert), und angenommen, dass P = P P (wobei die Simulation nur einen kleinen Polynom-Overhead beinhaltet). Dann wäre es denkbar, Ihren Computer so zu programmieren, dass er beispielsweise das erste Auftreten der vollständigen Werke von Shakespeare in der binären Erweiterung von π findet . Wenn das absurd für Sie klingt, dann vielleicht sollte es als zusätzliche Hinweise darauf , dass getroffen werden P ≠ P P . :-)$\pi$$\pi$$\mathsf{P} = \mathsf{PP}$$\pi$$\mathsf{P} \ne \mathsf{PP}$