Sie bemerken, dass die unteren Schranken von eng mit allen existierenden Techniken der unteren Schranken zusammenhängen. Für Boolesche Funktionen scheint dies wahr zu sein, solange die log-rank-Vermutung wahr ist. Jedoch P n ( f ) kann exponentiell größer als der Verwirrmenge gebunden.Pn(f)Pn(f)
Mir ist nicht klar, wie sehr sich und D ( f ) im nicht-booleschen Fall unterscheiden können.Pn(f)D(f)
Im Übrigen werde ich diese Bemerkungen präzisieren.
KN (Kushilevitz und Nisan in ihrem Lehrbuch von 1997) umreißen die drei Grundtechniken für Boolesche Funktionen: Größe eines Narrensatzes, Größe eines monochromatischen Rechtecks und Rang der Kommunikationsmatrix.
Erstens setzt Narren. Eine Täuschungsmenge ist monochromatisch: Es gibt einige z ∈ { 0 , 1 }, so dass f ( x , y ) = z für alle ( x , y ) ∈ S gilt . Ein letztes Patching ist dann erforderlich, um die andere Farbe zu berücksichtigen. Dieser zusätzliche Schritt kann vermieden werden. Sei f : X × Y → { 0 , 1 } eine Funktion. Ein Paar verschiedener Elemente ( x 1 ,Sz∈{0,1}f(x,y)=z(x,y)∈Sf:X×Y→{0,1} istschwach foolingfür f , wenn f ( x 1 , y 1 ) = f ( x 2 , y 2 ) impliziertdass entweder f ( x 1 , y 2 ) ≠ f ( x 1 , y 1 ) oder f ((x1,y1),(x2,y2)∈X×Yff(x1,y1)=f(x2,y2)f(x1,y2)≠f(x1,y1) . Eine Menge S ⊆ X × Y ist eineschwache Täuschungsmengefür f, wenn jedes einzelne Paar von Elementen von S schwach täuscht. KN besagt implizit nach dem Beweis von 1.20, dass die Protokollgröße einer schwachen Täuschungsmenge eine Untergrenze für die Kommunikationskomplexität ist.f(x2,y1)≠f(x1,y1)S⊆X×YfS
Ein größter schwacher Narrensatz wählt ein repräsentatives Element aus jedem monochromen Rechteck in einem kleinsten nicht zusammenhängenden Satzdeckel aus. Die Größe eines größten schwachen Narrensatzes ist daher höchstens so groß wie (der Exponent von) der Partitionsnummer. Leider ist die durch Täuschungssets bereitgestellte Schranke oft schwach. Der Beweis von KN 1.20 zeigt, dass jede Funktion, die jedes Element eines schwachen Narrensatzes S auf ein monochromatisches Rechteck R s abbildet, das dieses Element enthält, injektiv ist. Es kann jedoch viele monochromatische Rechtecke R in einer kleinsten disjunkten Abdeckung geben, die nicht im Bild von S erscheinen , wobei jedes Element von R mit einigen, aber nicht allen Elementen von R schwach täuschtsSRsRSR und kann daher nicht einfach zu S hinzugefügt werden. Tatsächlich Dietzfelbinger zeigte Hromkovic und Schnitger (doi:10.1016 / S0304-3975 (96) 00062-X)die für alle groß genug n mindestens 1 / 4 aller Booleschen Funktionen auf n Variablen P n ( f ) = n haben noch (schwache) Narrenmengen von Log-Größe O ( log n ) . Das Protokoll der Größe eines größten (schwachen) Narrensatzes kann also exponentiell kleiner sein als die Kommunikationskomplexität.SSn1/4nPn(f)=nO(logn)
Für den Rang würde das Herstellen einer engen Entsprechung zwischen dem Rang der Matrix der Funktion und ihrer Partitionsnummer eine Form der Log-Rang-Vermutung herstellen (abhängig von der Enge der Entsprechung). Wenn es zum Beispiel eine Konstante so dass P n ( f ) ≤ ein log r k ( f ) für jede Boolesche Funktion f ist , dann ist D ( f ) ≤ ( 2 ein log r k ( f ) ) 2a>0Pn(f)≤alogrk(f)fD(f)≤(2alogrk(f))2und dann gilt eine Art logarithmische Rang-Vermutung für Familien von Funktionen, für die letztendlich mit | zunimmt X | + | Y | , Mit dem Exponenten 2 + ε für jedes ε > 0 erreichbar für hinreichend große | X | + | Y | . (Erinnern wir uns, dass die Lovász-Saks-log-rank-Vermutung besagt, dass es eine Konstante c > 0 gibt, so dass D ( f ) ≤ ( log rrk(f)|X|+|Y|2+ϵϵ>0|X|+|Y|c>0 für jede Boolesche Funktion f ; hier ist r k ( f ) der Rang der Kommunikationsmatrix von f über den Real.)D(f)≤(logrk(f))cfrk(f)f
Wenn es nur ein recht großes monochromatisches Rechteck zusammen mit vielen kleinen gibt, ergibt die Partitionsnummer eine stärkere Grenze als die Protokollgröße eines größten monochromatischen Rechtecks. Die log-rank-Vermutung entspricht jedoch auch einer Vermutung über die Größe eines größten monochromatischen Rechtecks (Nisan und Wigderson 1995, doi: 10.1007 / BF01192527 , Theorem 2). Die Verwendung von monochromatischen Rechtecken ist derzeit nicht als identisch mit der Verwendung der Partitionsnummer bekannt, sie hängen jedoch eng zusammen, wenn die log-rank-Vermutung zutrifft.
Zusammenfassend kann die Protokollgröße eines größten Satzes schwacher Narren exponentiell kleiner als die Partitionsnummer sein. Es kann Lücken zwischen den anderen Techniken der unteren Schranke und der Partitionsnummer geben, aber wenn die Log-Rang-Vermutung gilt, sind diese Lücken klein.
Durch die Verwendung von Größenbegriffen, die den üblichen (der Kardinalität) erweitern, kann die Größe eines monochromatischen Rechtecks zur Verallgemeinerung von Täuschungssätzen und zur Verringerung der Kommunikationskomplexität verwendet werden (siehe KN 1.24). Ich bin nicht sicher, wie nahe die verallgemeinerte größte "Größe" eines monochromatischen Rechtecks an der Kommunikationskomplexität liegen muss.
D(f)logrk(f)flogn3nD(f)≥Pn(f)≥(2−log3)n>0.4nD(f)Pn(f)2.5Pn(f)D(f)f
Pn(f)