Natürlicher Kandidat gegen die Isomorphismus-Vermutung?

Die berühmte Isomorphismus-Vermutung von Berman und Hartmanis besagt, dass alle vollständigen Sprachen polynomiell zeitisomorph (p-isomorph) zueinander sind. Die Schlüsselbedeutung der Vermutung ist, dass sie impliziert . Es wurde 1977 veröffentlicht und ein Beleg dafür war, dass alle zu diesem Zeitpunkt bekannten vollständigen Probleme tatsächlich p-isomorph waren. Tatsächlich waren sie alle auffüllbar , was eine schöne natürliche Eigenschaft ist und auf nichttriviale Weise einen p-Isomorphismus impliziert. $NP$ $P\neq NP$ $NP$

Seitdem hat sich das Vertrauen in die Vermutung verschlechtert, da vollständige Kandidatensprachen entdeckt wurden, die wahrscheinlich nicht p-isomorph zu , obwohl das Problem immer noch offen ist. Nach meinem Kenntnisstand stellt jedoch keiner dieser Kandidaten ein natürliches Problem dar; Sie werden durch Diagonalisierung konstruiert, um die Isomorphismus-Vermutung zu widerlegen. $NP$ $SAT$

Trifft es nach fast vier Jahrzehnten immer noch zu, dass alle bekannten natürlichen vollständigen Probleme p-isomorph zu ? Oder gibt es einen mutmaßlichen natürlichen Kandidaten für das Gegenteil? $NP$ $SAT$

— Andras Farago
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Ich werde mich der Abstimmung enthalten, aber ich bin persönlich gegen alle Fragen, die nach der Existenz von etwas "Natürlichem" fragen, ohne zu definieren, was natürlich ist. Ich sage nicht, dass ich gegen alle "verschwommenen" Vorstellungen bin, aber ich denke, dass natürlich zu weit gefasst ist und dass einige konkretere wünschenswerte / unerwünschte Eigenschaften genauer spezifiziert werden sollten.

— Sasho Nikolov

+1 Schöne Frage. @SashoNikolov, vor der Erfindung der Turing-Maschinen, der formalen Definition von Algorithmen, war der intuitive Begriff bekannt und wurde seit Tausenden von Jahren verwendet. Das Fehlen einer formalen Definition des natürlichen Problems sollte uns nicht davon abhalten, es informell zu verwenden. Natürliches Problem ist ein Konzept, das Sie kennen, wenn Sie es sehen.

— Mohammad Al-Turkistany

Ich stimme Mohammad zu, dass Sie normalerweise ein natürliches Problem kennen, wenn Sie es sehen. "Natürlich" hängt jedoch auch vom Kontext ab, und in einigen Kontexten gibt es einen klareren Begriff - oder vielleicht nur eine besser abgestimmte und größere Anzahl klar natürlicher Beispiele - als in anderen. Ich denke, dieser spezielle Fall (NP-vollständige) Probleme fällt in die erstere Klasse. Beispielsweise führt die Anwendung einer Einwegfunktion auf SAT, um ein weiteres NP-vollständiges Problem zu erhalten (die Grundidee einiger Kandidaten, die gegen Berman-Hartmanis verstoßen), eindeutig zu einem "unnatürlichen" Problem.

— Joshua Grochow

Das Problem mit "natürlich" in der Praxis hier auf cstheory.SE ist, dass die Frage in der Regel zu einem "No True Scotsman" -Sturm führt, bei dem jede Antwort, die dem OP nicht gefällt, als "unnatürlich" für eine sich entwickelnde / sich verändernde Menge angesehen wird von Gründen.

— Suresh Venkat

@Sasho, ich persönlich habe "natürlich" ohne weitere Klärung als Bedeutung gelesen: Es ist kein künstlich erfundenes Problem, die Frage (oder ähnliche) zu beantworten, die Leute interessieren sich unabhängig für das Problem.

— Kaveh

Ich denke, die Antwort lautet ja, auch heute noch ist kein natürliches Problem bekannt, das als Kandidat für die Verletzung der Isomorphismus-Vermutung in Frage kommt.

Der Hauptgrund ist, dass normalerweise natürliche NP-vollständige Probleme sehr leicht als paddingfähig angesehen werden können, was Berman und Hartmanis als ausreichend für SAT-isomorph erwiesen haben. Bei Problemen mit natürlichen Graphen werden normalerweise zusätzliche Scheitelpunkte hinzugefügt, die z. B. nicht mit dem Graphen verbunden oder auf eine ganz bestimmte (aber normalerweise offensichtliche) Weise verbunden sind. Bei der Entscheidungsversion von Optimierungsproblemen werden normalerweise neue Dummy-Variablen ohne Einschränkungen hinzugefügt. Und so weiter.

— Joshua Grochow
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Ja, bei den meisten Grafikproblemen ist das Auffüllen einfach. Das muss aber nicht immer so sein. Ein Beispiel: Stimmt es, dass der Graph dreieckfrei ist und einen Hamilton-Pfad hat? Um die Eigenschaft beizubehalten, muss ein neuer Füllungsscheitelpunkt eine Verbindung zu einer alten Gruppe herstellen (um einen Hamilton-Pfad zuzulassen), eine Verbindung zu einer unabhängigen Gruppe herstellen (um das Erstellen eines Dreiecks zu vermeiden) und diese unabhängige Gruppe muss so beschaffen sein, dass sie einen Endpunkt enthält von mindestens einem Hamilton-Pfad (um ihn auf den neuen Scheitelpunkt erweiterbar zu machen). Es erscheint mir nicht offensichtlich, wie dies erreicht werden kann. Natürlich könnte man einen anderen Weg finden, um zu padern, da bin ich mir nicht sicher.

— Andras Farago

Informationen zu Hamiltonian Path finden Sie im Original von Berman-Hartmanis (Thm 7 (5) in der STOC-Version, Thm 8 (5) in der Journalversion: dx.doi.org/10.1137/0206023 ). Ihre Konstruktion führt keine neu gerichteten 3-Zyklen ein. Wenn Sie auch ungerichtete Dreiecke vermeiden möchten, können Sie einige der Kanten in ihrer Konstruktion durch neue Scheitelpunkte unterteilen. Vielleicht finden Sie auch ihr Folgepapier

— Joshua Grochow

@JoshuaGrochow Gibt es ein nicht-natürliches Beispiel für einen Kandidaten gegen eine BH-Vermutung?

— T ....

@Turbo: Ja, die k-Kreativsätze ("verschlüsselte vollständige Sätze") von Joseph und Young 1985: dx.doi.org/10.1016/0304-3975(85)90140-9

— Joshua Grochow