Diagrammfarbe minimiert die Anzahl der Farben in jedem unabhängigen Satz

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Ist die folgende Behauptung bekannt?

Behauptung : Für jeden Graphen mit Eckpunkten existiert eine Färbung von so dass jede unabhängige Menge mit höchstens gefärbt ist $G$ $n$ $G$ Farben. $O(\sqrt{n})$

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— Igor Shinkar
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Die folgende Behauptung ist mir bekannt, zählt aber möglicherweise nicht, weil sie unveröffentlicht ist: Jeder Graph auf Eckpunkten kann so gefärbt werden, dass jeder induzierte Teilgraph der chromatischen Zahl höchstens höchstens Farben verwendet, wobei . $n$ $H$ $k$ $\chi(H)+B$ $B(B+1)\leq 2kn$

Dies ist ein Beweis durch Induktion; Die Motivation bestand darin, Färbungen zu berücksichtigen, die nicht nur in der Grafik, sondern auch in allen induzierten Teilgraphen nur wenige Farben verwenden. Mir sind jedoch keine veröffentlichten Ergebnisse bekannt.

— Aravind
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Nicht ganz das, wonach Sie fragen, aber hier ist eine Untergrenze - ein Diagramm, für das jede Färbung zu einem unabhängigen Satz führt, der mit gefärbt ist $\sqrt{n}$

$\sqrt{n}$ $K_{\sqrt{n}}$ $s$

$\sqrt{n}$ $K$ $K_{\sqrt{n}}$

Diese Untergrenze kann leicht auf verbessert werden $\sqrt{2n}$ $K_1,K_2,..$ $\Omega(\sqrt{n})$

— RB
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Das zweite Beispiel scheint die Grenze nicht zu verbessern. Ich denke, dass jeder IS mit gefärbt werden kann

2 \sqrt{2 n} / 3

$2\sqrt{2n}/3$

K_{1}

$K_1$

K_{2}

$K_2$

K_{3}

$K_3$

Ich bin mir nicht sicher was du meinst. Das zweite Beispiel verbessert die Bindung, jedoch nicht asymptotisch. Sie können eine ~ konstruieren

2 \sqrt{n}

$2\sqrt n$

K_{1}

$K_1$

K_{2}

$K_2$

K_{i}

$K_i$

G

$G$

K_{1}

$K_1$

K_{2}

$K_2$

K_{3}

$K_3$

1

t \approx \sqrt{2 n}

$t \approx \sqrt{2n}$

1 + 2 + \dots + t = n

$1+2+\dots + t = n$

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$\alpha(G) \leq \sqrt{n}$ $I$ $G$ $\alpha$ $I$ $G - I$ $2,...,c$ $K$ $G$ $K' = K - I$ $K'$ $\sqrt{n-\alpha}$ $K$ $1+\sqrt{n-\alpha} \leq \sqrt{n}$ $\alpha \geq \sqrt{n}$

— Super 8
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1

1 + \sqrt{n - \sqrt{n}} > \sqrt{n}

$1+\sqrt{n-\sqrt{n}}>\sqrt{n}$

ϵ > 0

$\epsilon>0$

(1 + ϵ) \sqrt{n} + C_{ϵ}

$(1+\epsilon)\sqrt{n}+C_\epsilon$

1

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

2 \sqrt{n}

$2 \sqrt{n}$

(auf der Profilzusammenführungsanforderung) Meta ist ein guter Ort, um eine solche Anfrage zu posten.

— Suresh Venkat