VC-Dimension von Zylindern innerhalb eines Zylinders

Ich möchte die VC-Dimension eines Bereichsraums der wie folgt aufgebaut ist:$(X,\mathcal{R})$

1. { ( x , y , z ) ∈ R 3 | x 2 + y 2 ≤ 1 $X$ ist der Zylinder $\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3|x^2+y^2\leq 1\}$
2. Die Bereiche in werden gebildet, indem die Vereinigung von Kreisscheiben so genommen wird, dass: $\mathcal{R}$
   • Die Ebene, die die Scheibe enthält, ist orthogonal zur z-Achse (wir "stapeln" die Scheiben in der z-Richtung).
   • Eine Scheibe berührt die Zylindergrenze am Punkt$(1,0,z)$
   • Eine Scheibe hat einen Durchmesser , wobei (streng) durch ist und streng monoton ansteigt, streng monoton abnimmt oder konstant ist.f ( z ) - 1 < f ( z ) < $f(z)+1$$f(z)$$-1<f(z)<1$
3. Jeder Satz, der durch Drehen eines dieser Bereiche um die z-Achse um einen beliebigen Winkel konstruiert wird, ist ebenfalls ein Bereich.

Stellen Sie sich intuitiv vor, Sie nehmen einen Satz Münzen (natürlich kreisförmig) und sortieren sie nach Durchmesser, entweder abnehmend oder zunehmend. Lassen Sie sie dann vorsichtig in dieser Reihenfolge in ein Rohr (den Hauptzylinder) fallen, sodass jedes auf dem letzten ruht. Kippen Sie nun das Rohr leicht, so dass alle an der Seite des Zylinders anliegen. Wenn unsere Münzen keine Dicke hätten und wir eine für jede reelle Zahl hätten, wäre dies unsere Reichweite.

Ich interessiere mich hauptsächlich für den Fall, dass sigmoid ist, wie die Fehlerfunktion oder . Insbesondere interessieren mich die zylindrischen Bereiche, die durch die Funktionsfamilie , wobei .tanh tanh ( α ( z - β ) ) α , β ∈ $f(z)$$\tanh$$\tanh(\alpha(z-\beta))$$\alpha,\beta\in\mathbb{R}$

Ich weiß, dass dieser Bereichsraum mindestens VC-dim 4 hat (ich kann einen Satz von vier Punkten konstruieren, die er zerbricht), aber ich bin daran interessiert, eine Obergrenze festzulegen und zu verstehen, warum. Ich weiß das:

1. Circular Disks in haben VC-dim 3$\mathbb{R}^2$
2. Teilmengen des Streifens , die über oder unter haben mindestens VC-dim 3, wahrscheinlich gleich 3, da der Steigungsteil der Funktion ähnlich wie eine Linie wirkt tanh ( α ( z - β ) ) $\{-1\leq y\leq 1\}\subset\mathbb{R}^2$$\tanh(\alpha(z-\beta))$$\tanh$

Gibt es eine Möglichkeit, diese Fakten zu kombinieren , um eine Obergrenze für die VC-Dimension zu erhalten ? Gibt es etwas zu allgemeinem zu sagen , das die Kriterien in (2) erfüllt?$f(z)$

Sie benötigen die Sigmoid-Beschränkung für damit die VC-Dimension endlich ist. Andernfalls können Sie wie eine Treppe mit beliebig vielen Schritten verhalten lassen . Dann können diese Treppen beliebig viele Kreuzungen haben. Dies ermöglicht Bereichen, verschiedene Teilmengen zuzulassen . f n 2 $f$$f$$n$$2^n$

Wenn $f(z)$ ein Polynom ist, können Sie die VC-Dimension mit dem Grad des Polynoms (kombiniert mit dem Grad des Polynoms (2), das die Scheibe beschreibt) begrenzen. Sie sind sich jedoch nicht sicher, wie Sie diese Art von Ergebnis für anwenden sollen .$\tanh$