Kann die Beschränkung auf harte Sprachen einfach sein?

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Kann das folgende alles gleichzeitig halten?

$L_s$ ist in für alle positiven ganzen Zahlen . $L_{s+1}$ $s$
$L = \bigcup_s L_s$ ist die Sprache aller endlichen Wörter über . $\{0,1\}$
Es besteht eine gewisse Komplexitätsklasse und eine Vorstellung der Reduktion geeignet für , so dass für jeden , für schwer ist . $C$ $C$ $s$ $L_s$ $C$

cc.complexity-theory complexity-classes reductions

— András Salamon
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Kann das funktionieren? einer Aufzählung von (binär codierten) Booleschen Formeln definieren Sie wobei sind die ersten unerfüllbar Formeln in der Aufzählung?

φ_{1}, φ_{2}, . . .

$\varphi_1, \varphi_2,...$

L_{s} = S A T \cup {φ_{i_{1}}, . . ., φ_{i_{s}}}

$L_s = SAT \cup \{ \varphi_{i_1},...,\varphi_{i_s}\}$

φ_{i_{1}}, . . ., φ_{i_{s}}

$\varphi_{i_1},...,\varphi_{i_s}$

s

$s$

— Marzio De Biasi

Das scheint zu funktionieren, vielleicht eine Antwort daraus zu machen?

— András Salamon

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Ich denke, wir können einfach mit einer Basissprache und dann und . $L$ $L_0 = L$ $L_{s+1} = L_s \cup \{0,1\}^{s+1}$

Das heißt, jedes ist die Vereinigung von mit allen Strings der Länge bis zu . Jedes ist mindestens so hart wie aber nicht härter (im asymptotischen Sinne), vorausgesetzt, wir können bis . $L_s$ $L$ $s$ $L_s$ $L$ $s$

Ich dachte auch über die anderen "Grenze", so dass jeder in enthalten ist und ist einfach , während jeder hart ist. Aber ich denke, wir könnten einfach mit einer harten (aber abzählbaren) Sprache und bei jedem Schritt nur ein Wort entfernen. Die Kreuzung sollte leer sein (jedes Wort wird schließlich entfernt). $L_{s+1}$ $L_s$ $L = \cap_s L_s$ $L_s$ $L_0$

— usul
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Um die Antworten von Marzio und Usul zu ergänzen: Das Gleiche kann getan werden, auch wenn man verlangen möchte, dass der Unterschied zwischen und eine unendliche Menge ist (eine Möglichkeit, die Frage weniger trivial zu beantworten). aber, wie wir sehen, funktioniert nicht). Lassen . Dann gilt und $L_s$ $L_{s+1}$ $D_n = \{ x \in \{0,1\}^* : 1x \text{ is the binary expansion of an integer divisible by } n\}$ $L_0 = L$ sollte den Trick machen. $L_{s+1} = L_s \cup D_s$

(Für alle festen , wenn war, sagen wir, Clique, sollte es relativ einfach sein , eine Reduktion von SAT nach CLIQUE zu nehmen und ändern Sie es durch so etwas wie so Klotzen , dass es immer noch eine Reduktion von SAT nach CLIQUE ist .) $s$ $L$ $\cup D_s$

— Joshua Grochow
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Gegeben eine Aufzählung von binären codierten Boolesche Formeln definieren wobei sind die ersten unerfüllbar Formeln in der Aufzählung. $\varphi_1, \varphi_2,...$ $L_s = SAT \cup \{ \varphi_{i_1},...,\varphi_{i_s}\}$ $\varphi_{i_1},...,\varphi_{i_s}$ $s$

ist eindeutig schwer für : Addiere mit einer gegebenen Booleschen Formel genug neue OR-ed-Variablen bis sein Index in der Aufzählung größer als (konstant) . $L_s$ $NP$ $\varphi$ $x_i$ $\varphi \lor x_1 \lor ... \lor x_n$ $i_s$

— Marzio De Biasi
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Zweitens scheint dies eine Kodierung zu erfordern, für die garantiert jedes endliche Wort als Kodierung einer CNF-Formel erscheint. Man könnte dann jedoch die zweite Bedingung so ändern, dass

die Sprache aller syntaktisch gültigen CNF-Formeln in der Codierung ist; das fängt immer noch den Geist der Frage ein.

L

$L$

— András Salamon

Für die Härte scheint es ausreichend zu sein, zu beobachten, dass, wenn

NP-hart ist und

eine endliche Sprache ist,

auch NP-hart ist.

L

$L$

L^{'}

$L'$

L \cup L^{'}

$L \cup L'$

— András Salamon

@ AndrásSalamon: Du hast Recht mit dem Härtenachweis: -S! Ich denke jedoch, dass eine "perfekte" Codierung (eine Bijektion zwischen N und allen gültigen Formeln) in Polynomzeit möglich und berechenbar ist.

— Marzio De Biasi