Maximale disjunkte Menge: Was ist der tatsächliche Approximationsfaktor des Greedy-Algorithmus?

Betrachten Sie das Problem , aus einer gegebenen Sammlung von Kandidaten eine maximale disjunkte Menge zu finden - eine maximale Menge nicht überlappender geometrischer Formen. Dies ist ein NP-vollständiges Problem, aber in vielen Fällen liefert der folgende Algorithmus eine Annäherung an einen konstanten Faktor:

• Berechnen Sie für jede Kandidatenform x ihre disjunkte Schnittmenge = die größte Anzahl disjunkter Formen, die x schneiden .$DIN(x)$
• Wählen Sie eine Kandidatenform mit einer kleinsten DIN ( ). Entfernen Sie es und alle Formen, die es schneidet.$\arg \min_{x} DIN(x)$
• Fahren Sie fort, bis keine Kandidaten mehr übrig sind.

Betrachten Sie beispielsweise die folgende Abbildung auf der Wikipedia-Seite:

Die grüne Scheibe schneidet 5 andere Scheiben, aber ihre DIN ist 3 (die 3 roten Scheiben sind nicht verbunden). Die obersten und untersten roten Scheiben kreuzen sich mit 2 anderen Scheiben, aber sie kreuzen sich selbst, so dass ihre DIN gleich 1 ist. Die gelben Scheiben haben eine DIN von 2. Der Greedy-Algorithmus wählt somit die oberste oder die unterste rote Scheibe aus.

Wenn die minimale DIN durch eine Konstante begrenzt werden kann, ist der Greedy-Algorithmus eine polynomielle Konstanten-Faktor-Approximation.

Wenn zum Beispiel alle Kandidatenformen Einheitsscheiben sind, zeigen Marathe et al. (1995) , dass immer eine Scheibe mit einer DIN von höchstens 3 existiert: Die äußerste linke Scheibe (die Scheibe mit der kleinsten x-Koordinate) schneidet höchstens 3 andere disjunkte Scheiben . Daher ergibt der Greedy-Algorithmus eine 3-Approximation, da er für jede (höchstens) 3 Platten in der optimalen Lösung 1 Platte erhält.

In ähnlicher Weise liefert der Greedy-Algorithmus eine 5-Approximation, wenn alle Kandidatenformen Platten beliebiger Größe sind, da die kleinste Platte höchstens 5 andere disjunkte Platten schneidet, dh die minimale DIN höchstens 5 beträgt.

Soweit so gut, aber sind diese Faktoren 3 und 5 eng? Ich bin mir nicht sicher.

Betrachten Sie die Abbildung oben. Wenn Sie die am weitesten links liegende Festplatte (grün) auswählen, wird ein disjunkter Satz der Größe 1 angezeigt. Dies entspricht in der Tat einer 3-fachen Annäherung an den maximalen disjunkten Satz der Größe 3 (rot). Der Greedy-Algorithmus wählt jedoch nicht die grüne Festplatte aus die obere / untere rote Scheibe, deren DIN 1 ist. In diesem Fall findet der Greedy-Algorithmus die optimale Lösung.

Ich konnte kein Gegenbeispiel für allgemeines , in dem der Greedy-Algorithmus einen disjunkten Satz mit Einheiten findet, während der maximale disjunkte Satz . Tatsächlich konnte ich nicht einmal ein allgemeines Gegenbeispiel konstruieren, in dem das minimale DIN tatsächlich 3 ist. Das Beste, was ich finden konnte, ist das Folgende, in dem jede Einheitsscheibe höchstens 2 andere disjunkte Scheiben schneidet (dh das minimale DIN ist 2). Aber auch hier findet der Greedy-Algorithmus die optimale Lösung anstatt einer 2-Approximation:n 3 $n$$n$$3n$

Meine Fragen sind:

• Was ist die tatsächliche maximale minimale DIN in Auflistungen von Unit-Disks? Beliebig große Festplatten?
• Was ist der tatsächliche Approximationsfaktor des Greedy-Algorithmus für Sammlungen von Unit-Disks? Für Festplatten beliebiger Größe? (Dieser Faktor ist höchstens so groß wie die max min DIN, kann aber kleiner sein).

UPDATE: Definieren Sie für jedes k-Tupel von Formen = die größte Anzahl disjunkter Formen, die durch die Vereinigung geschnitten werden . Definieren Sie als das minimale DIN aller k-Tupel disjunkter Formen. D I N ( x 1 , . . . , X K ) x 1 ∪ . . . ∪ x k m i n D I N $x_1,...,x_k$$DIN(x_1,...,x_k)$$x_1\cup...\cup x_k$$minDIN_k$

Beispiel: In der Antwort von Yury unten ist , da jeder Kreis drei andere Kreise schneidet. , da zwei getrennte Kreise ausgewählt werden können, einer aus dem äußeren Kreis und einer aus dem inneren Kreis, die zusammen nur 4 andere Kreise schneiden. Für jedes ist .$minDIN_1=3$$minDIN_2=4$$k$$minDIN_k\leq k+2$

Ich denke, dass das Approximationsverhältnis des Greedy-Algorithmus durch , weil wir für jede Form in der optimalen Lösung mindestens Formen in der Algorithmusausgabe haben. Ist das richtig?$\frac{minDIN_k}{k}$$minDIN_k$$k$

BEARBEITEN: Ich lese jetzt das ausgezeichnete Buch Forschungsprobleme in diskreter Geometrie . Obwohl ich das genaue Problem nicht gefunden habe, habe ich ein Problem gefunden, das verwandt aussieht. Im Abschnitt "2.5 Dünne Packungen mit vielen Nachbarn" gibt es Beispiele für Kreispackungen, bei denen jeder Kreis 5 andere Kreise berührt. Ich frage mich, ob eine solche Packung eine Konfiguration von Kreisen mit DIN = 5 ergeben kann.

Was ist die tatsächliche maximale minimale DIN in Sammlungen von Unit-Disks?

Es ist 3.