Interessante Funktionen in Diagrammen, die effizient maximiert werden können.

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Angenommen, ich habe einen gewichteten Graphen so dass die Gewichtungsfunktion ist - beachten Sie, dass negative Gewichte zulässig sind. $G = (V,E,w)$ $w:E\rightarrow [-1,1]$

Sagen , dass eine Eigenschaft von jeder Teilmenge der Vertices definiert . $f:2^V\rightarrow \mathbb{R}$ $S \subset V$

Frage: Was sind einige interessante Beispiele s , für die das Maximierungsproblem: in Polynomialzeit durchgeführt werden? $f$ $\arg\max_{S \subseteq V}f(S)$

Zum Beispiel ist die Graphschnittfunktion

f (S) = \sum_{(u, v) \in E : u \in S, v \notin S} w ((u, v))

$f(S) = \sum_{(u,v) \in E : u \in S, v \not\in S}w((u,v))$ eine interessante Eigenschaft von Teilmengen von Eckpunkten, kann aber nicht effizient maximiert werden. Die Kantendichtefunktion ist ein weiteres Beispiel für eine interessante Eigenschaft, die leider nicht effizient maximiert werden kann. Ich suche für Funktionen , die gleichermaßen interessant sind, sondern kann effizient maximiert werden.

Ich werde die Definition von "interessant" etwas vage sein lassen, aber ich möchte, dass das Maximierungsproblem nicht trivial ist. Zum Beispiel sollte es nicht sein, dass Sie die Antwort bestimmen können, ohne die Kanten des Diagramms zu untersuchen (daher sind konstante Funktionen und die Kardinalitätsfunktion nicht interessant). Es sollte auch nicht der Fall sein, dass $f$ wirklich nur eine andere Funktion mit einer Domäne mit polynomieller Größe codiert, indem es in die Domäne $2^V$ (dh ich möchte nicht, dass es eine kleine Domäne $X$ und eine Funktion $m:2^S\rightarrow X$ vor dem Betrachten des Graphen bekannt, so dass die interessierende Funktion wirklich $g:X\rightarrow \mathbb{R}$ und $f(S) = g(m(S))$ Wenn dies der Fall ist, ist das "Maximierungs" -Problem wirklich nur eine Frage der Bewertung der Funktion an allen Eingängen.)

Bearbeiten: Es ist wahr, dass Minimierungsprobleme manchmal einfach sind, wenn Sie die Kantengewichte ignorieren (obwohl die Schnittfunktion nicht minimiert wird, da ich negative Kantengewichte zulasse). Aber ich bin ausdrücklich an Maximierungsproblemen interessiert. Bei natürlichen gewichteten Problemen in dieser Umgebung wird dies jedoch nicht zum Problem.

ds.algorithms graph-theory co.combinatorics

— Aaron Roth
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Haben Sie ein Beispiel für eine solche Funktion?

— Jaroslaw Bulatow

Nein, daher die Frage. :-)

— Aaron Roth

Ah ok. Mein Eindruck, dass eine Funktion, die für alle Graphen effizient maximiert werden kann, uninteressant sein muss. Es kann jedoch interessante Funktionen geben, die für eingeschränkte Diagrammsätze effizient maximiert werden können. Zum Beispiel können für planare Graphen einige interessante Funktionen effizient maximiert werden, während andere interessante Funktionen noch keinen effizienten Algorithmus haben

— Yaroslav Bulatov

Ich würde mich über Antworten zu Ergebnissen für eingeschränkte Klassen von Diagrammen freuen, wenn wir uns keine interessanten Funktionen vorstellen können, die über alle Diagramme maximiert werden können.

— Aaron Roth

Sollte das nicht CW sein? Wir können beliebig viele Beispiele generieren, und ob diese "interessant" sind, ist subjektiv.

— Jukka Suomela

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Immer wenn die Anzahl der Kanten die ein Boolesches Prädikat erfüllen, das in Bezug auf und , ist das, was Sie geschrieben haben, nur ein Boolescher 2-CSP. Die Zielfunktion fordert dazu auf, die Anzahl der erfüllten Klauseln über alle Zuordnungen zu den Variablen zu maximieren. Es ist bekannt, dass dies NP-hart ist, und die genaue Härte-Schwelle ist auch unter der Annahme von UGC bekannt (siehe Raghavendra'08). $f(S)$ $(u,v)$ $u\in S$ $v\in S$

Es gibt viele natürliche positive Beispiele, wenn Sie über Teilmengen von Kanten maximieren möchten, z. B. Maximale Übereinstimmung ist in diesem Fall ein Beispiel für ein Polynomzeitproblem.

— Moritz
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Dies ist eine schöne Beobachtung, die viele natürliche Probleme dieser Art ausschließt.

— Aaron Roth

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Domatische Partition / schwache 2-Färbung.

(In diesem Fall ist wenn jedes einen Nachbarn in und umgekehrt. Andernfalls ist Eine Lösung mit existiert immer, wenn es welche gibt keine isolierten Knoten, und es kann leicht in Polynomzeit gefunden werden.) $f(S) = 1$ $v \in S$ $V \setminus S$ $f(S) = 0$ $f(S) = 1$

— Jukka Suomela
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1

Minimaler Schnitt (speziell Scheitelpunktschnitt).

(In diesem Fall wäre so etwas wie diese: 0 , wenn das Entfernen den Knoten in dem Satz nicht partitionieren in mindestens zwei Komponenten, und sonst Dann maximiert wird . entspricht die Suche nach einem minimalen Schnitt , was in Polynomzeit erfolgen kann.) $f$ $S$ $G$ $|V| - |S|$ $f$

Sie können auch eine ähnliche Funktion definieren, die minimalen Kantenschnitten entspricht.

(Zum Beispiel ist 0, wenn oder ; andernfalls ist es , wobei die Menge der Kanten ist, die einen Endpunkt in und den anderen Endpunkt in ) $f(S)$ $S = \emptyset$ $S = V$ $|E| - |X|$ $X$ $S$ $V \setminus S$

— Jukka Suomela
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Ok, aber dies ist ein Minimierungsproblem in der Verkleidung, das in der Regel einfacher ist, wenn Sie die Kantengewichte ignorieren. (Beachten Sie, dass, wenn Sie Kantengewichte berücksichtigen, da ich spezifiziere, dass wir möglicherweise negative Gewichte haben, Min-Cut auch ein schwieriges Problem ist). Ich werde versuchen, die Frage zu bearbeiten, um diesen Punkt hervorzuheben.

— Aaron Roth

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Maximaler unabhängiger Satz.

(Hier ist = Anzahl der Knoten in , die keinem anderen Knoten in benachbart sind + Anzahl der Knoten in , die einem Knoten in benachbart sind . Iff ist eine maximale unabhängige Menge, die wir .) $f(S)$ $S$ $S$ $V \setminus S$ $S$ $S$ $f(S) = |V|$

— Jukka Suomela
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Wie finden Sie die maximale unabhängige Menge in der Polynomzeit?

— Jaroslaw Bulatow

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@ Jaroslaw: gierig.

— Jukka Suomela

@ Jaroslaw: Hinweis - der Unterschied zwischen Maximum und Maximum ist massiv. ;-)

— Ross Snider