Ein Entscheidungsproblem, von dem nicht bekannt ist, dass es sich um PH handelt, das jedoch bei P = NP auftritt

Edit : Wie Ravi Boppana in seiner Antwort richtig hervorhob und Scott Aaronson in seiner Antwort ein weiteres Beispiel hinzufügte , stellte sich heraus, dass die Antwort auf diese Frage auf eine Weise "Ja" war, die ich überhaupt nicht erwartet hatte. Zuerst dachte ich, dass sie die Frage, die ich stellen wollte , nicht beantworteten , aber nach einiger Überlegung beantworten diese Konstruktionen mindestens eine der Fragen, die ich stellen wollte: „Gibt es eine Möglichkeit, ein bedingtes Ergebnis zu beweisen?“ P = NP ⇒ L ∈ P 'ohne das bedingungslose Ergebnis L ∈ PH zu beweisen ? ”Danke, Ravi und Scott!

Liegt ein Entscheidungsproblem L vor, so dass die folgenden Bedingungen beide erfüllt sind?

• Es ist nicht bekannt, dass L in der Polynomhierarchie ist.
• Es ist bekannt, dass P = NP L ∈ P impliziert .

Ein künstliches Beispiel ist so gut wie ein natürliches. Auch wenn ich den Buchstaben " L " verwende, kann es ein Versprechungsproblem anstelle einer Sprache sein, wenn es hilft.

Hintergrund . Wenn wir wissen, dass ein Entscheidungsproblem L in der Polynomhierarchie liegt , dann wissen wir, dass „P = NP ⇒ L ∈P“. Die Absicht der Frage ist, zu fragen, ob das Gegenteil zutrifft. Wenn eine Sprache L existiert, die die obigen beiden Bedingungen erfüllt, kann dies als Beweis dafür angesehen werden, dass die Umkehrung fehlschlägt.

Die Frage wurde von Joe Fitzsimons interessantem Kommentar zu meiner Antwort auf Walter Bishops Frage " Konsequenzen von #P = FP " motiviert .

Da Ihnen eine künstliche Sprache nichts ausmacht, wie wäre es, wenn Sie definieren, dass leer ist, wenn P gleich NP ist, und das Halteproblem, wenn P nicht gleich NP ist. Okay, es ist ein kleiner Schummel, aber ich denke, Sie müssen das Problem umformulieren, um solche Schummel zu vermeiden. $L$

Wenn ein künstliches Beispiel wirklich so gut ist wie ein natürliches, dann kann ich in der Tat ein solches Beispiel liefern!

Edit: Außerdem ist mein Beispiel "etwas" weniger betrügerisch als das von Ravi Boppana vorgeschlagene (wobei wir L als leere Sprache betrachten, wenn P = NP, und ansonsten das Halteproblem), indem ich die Sprache definiere L durch Angabe einer endlichen Prozedur, um zu entscheiden, ob L für eine Eingabe x ist. Zu keinem Zeitpunkt wird entschieden, ob x∈L die Lösung einer "unbegrenzten" mathematischen Frage wie P gegen NP erfordert.$x \in$

Ohne weiteres: Sei eine Aufzählung von polytime Turing-Maschinen. Für alle sei das lexikographisch erste , das 3SAT für alle Eingaben mit einer Länge von oder weniger korrekt entscheidet . Definieren Sie dann die Sprache L wie folgt: Für alle Eingaben der Größe , L, wenn und nur wenn die mit codierte Turing-Maschine höchstens Schritte dauert, wenn sie auf einem leeren Band ausgeführt wird.$M_1, M_2, ...$$n$$M_{t(n)}$$M_i$$n$$x$$n$$x \in$$x$$n^{t(n)}$

Anspruch 1: Wenn P = NP, dann L P.$\in$

Beweis: Wenn P = NP, dann gibt es ein festes , das 3SAT für alle Eingaben löst; daher für alle . QED$M_i$$t(n) \le i$$n$

Anspruch 2: Wenn P NP, dann L P.$\ne$$\notin$

Beweis: Wenn ungebunden zunimmt, können wir einfach den Zeithierarchiesatz anwenden. QED$t(n)$

Nun ist nicht nur L nicht in P, wenn man P NP annimmt : man nimmt an, dass es nicht in PH (oder sogar PSPACE) wäre!$\ne$

Im Übrigen frage ich mich, ob jemand die obige Konstruktion verbessern kann, um eine Sprache L zu erhalten, die in P ist, wenn P = NP, aber nachweislich nicht in PH oder PSPACE, wenn P NP?$\ne$

Beantworte Scott Aaronsons Frage, aber ein bisschen zu lang für einen Kommentar, hier ist eine Konstruktion einer Sprache so dass impliziert , aber impliziert .$L$$P = NP$$L \in P$$P \neq NP$$L \notin PH$

Sei und wie in Scotts Konstruktion. Wir machen es so, dass nicht für jedes auf reduziert , sondern nur dann, wenn (dh wenn ). Der Bau verläuft stufenweise. Im Stadium (unter Verwendung einer leicht berechenbaren und leicht umkehrbaren Bijektion ) stellen wir sicher, dass keine 1- Reduktion von nach ist . Sei die kleinste Ganzzahl, so dass$M_1, M_2, M_3, \dotsc$$t(n)$$L$$\Sigma_{k} SAT$$k$$t(n) \to \infty$$P \neq NP$$s=(i,j)$$\Sigma^* \to \Sigma^* \times \Sigma^*$$M_i$$L$$\Sigma_{j} SAT$$n_{s}$$t(n_{s}) > t(n_{s-1})$(Basisfall: ). Wenn es eine solche ganze Zahl , dann setze . Wenn es keine solche ganze Zahl , lassen wir für immer leer.$n_{0} = 1$$n_{s}$$L(1^{n_{s}}) = 1 - \Sigma_{k}SAT(M_{i}(1^{n_{s}}))$$n_{s}$$L$

Wenn , dann als , so gibt es immer ein solches , daher ist nicht in . Wenn , dann meine ist nur endlich unterscheidet sich von Scotts und ist daher in .$P \neq NP$$t(n) \to \infty$$n \to \infty$$n_{s}$$L$$PH$$P = NP$$L$$L$$P$