Schaltkreisauswertung

Ist bekannt, ob Problem mit der Schaltkreisbewertung in ? Wie wäre es mit (uniform )? $\mathsf{NC^1}$ $\mathsf{NC^1}$ $\mathsf{ALogTime}$ $\mathsf{NC^1}$

Wir wissen, dass Schaltkreise der Tiefe mit Schaltkreisen der Tiefe bewertet werden können, wobei eine universelle Konstante ist. Dies bedeutet, dass Schaltkreise mit der Tiefe von einem Schaltkreis mit der Tiefe ausgewertet werden können . Jedoch keine Funktion enthält , dass schließlich alle Funktionen dominiert in . $k$ $k+c$ $c$ $k\lg n + o(\lg n)$ $O(\lg n)$ $O(\lg n)$ $O(\lg n)$

Wir wissen, dass das Problem bei der in . Jede -Schaltung entspricht einer Booleschen Formel. Können wir die erweiterte Verbindungsdarstellung einer äquivalenten Booleschen Formel nicht aus der einer gegebenen -Schaltung in ? $\mathsf{ALogTime}$ $\mathsf{NC^1}$ $\mathsf{NC^1}$ $\mathsf{ALogTime}$

Die erweiterte Verbindungsdarstellung einer Schaltung beinhaltet

die Anzahl der Tore in der Schaltung,
die Art jedes Tors und
für jedes Gatter und jeden Pfad in der DAG der Schaltung erreichte das Gatter von folgenden Pfad . $g$ $\pi$ $g$ $\pi$

Ein Pfad wird durch eine 0/1-Sequenz angegeben, wobei 0 für das Bewegen zum linken Elternteil und 1 für das Bewegen zum rechten Elternteil steht. Beachten Sie, dass die Anzahl der Pfade polynomisch ist: Die Länge der Pfade wird durch die Tiefe der Schaltung begrenzt.

cc.complexity-theory reference-request circuit-complexity

— Kaveh
quelle

Soweit mir bekannt ist, befindet sich die Auswertung nicht in , und es wird vermutet, dass sie außerhalb von . Siehe "Über Theorien der beschränkten Arithmetik für ", E. Jerabek, Ann. Pure Appl. Logic 2011 ( math.cas.cz/~jerabek/papers/vnc.pdf ).

N C^{1}

$NC^1$

N C^{1}

$NC^1$

N C^{1}

$NC^1$

N C^{1}

$NC^1$

— Iddo Tzameret

@IddoTzameret Vielleicht solltest du deinem Kommentar eine Antwort geben.

— Dai Le

Was meinen Sie mit NC1-Schaltungsauswertung? Meinen Sie damit, dass die Eingabe, die an den Evaluator gegeben wird, eine Schaltung

deren Tiefe für eine feste Konstante

durch

begrenzt ist , wobei

die Anzahl der Eingaben für

C

$C$

c \log (n)

$c\log(n)$

c

$c$

n

$n$

C

$C$

— Igor Shinkar

@Igor, guter Punkt. Ich muss nachdenken und klarstellen.

— Kaveh

@igor, ich denke, wir können annehmen, dass die Tiefe der Schaltung für eine beliebige, aber feste Konstante

ist, da dies für

unter

-Reduktionen schwierig ist .

c \lg n

$c \lg n$

c \geq 1

$c\geq 1$

N C^{1}

$\mathsf{NC^1}$

A C^{0}

$\mathsf{AC^0}$

— Kaveh

Soweit ich weiß, wird Auswertung nicht bekannt sein , und gemutmaßt wird , draußen sein . Sehen $\mathsf{NC^1}$ $\mathsf{NC^1}$ $\mathsf{NC^1}$

Emil Jerabek, " Über Theorien der beschränkten Arithmetik für $\mathsf{NC^1}$ ", Ann. Pure Appl. Logik 2011

— Iddo Tzameret
quelle

Danke Iddo. Ich schaue auf Emils Papier und es ist sehr hilfreich. Er stellt fest , dass das Problem bekannt ist , nicht in seine

, wenn wir verwenden direkte Verbindung Darstellung , aber es ist in

, wenn wir verwenden erweitert Verbindung Darstellung .

N C^{1}

$\mathsf{NC^1}$

N C^{1}

$\mathsf{NC^1}$

— Kaveh

Er führt weiter aus, dass das folgende Problem die Hauptschwierigkeit bei der Berechnung der

-Schaltungsbewertung (mit Gleichstromdarstellung) ist: Gegeben sei ein gerichteter Graph auf Eckpunkten mit begrenztem Außengrad, Eckpunkten und einer Zahl , bestimme, ob von in höchstens Schritten erreichbar ist.

N C^{1}

$\mathsf{NC^1}$ $G$ $n$ $x,y \in G$ $d \leq \log n$ $y$ $x$ $d$

— Kaveh

@Kaveh, Sie können auch nachsehen, wie Allender und Koucky "die unteren Grenzen durch Selbstreduzierung verstärken" (JACM 2010). Sie geben auch das

-Auswertungsproblem an, das in

N C^{1}

$NC^1$

N C^{1}

$NC^1$

— Iddo Tzameret

Eigentlich war diese Linie die Inspiration für meine Frage. Ich hatte das Gefühl, dass es in

wenn wir eine erweiterte Verbindungsrepräsentation verwenden, und in Emils Papier heißt es, dass dies tatsächlich der Fall ist.

N C^{1}

$\mathsf{NC^1}$

— Kaveh