Fangen Sie an, Komplexität zu lernen

Ich habe kürzlich angefangen, viel über die Komplexität von Beweisen zu lesen und habe das, was ich gelesen habe, wirklich genossen. Ich würde wirklich gerne mehr darüber erfahren, aber es fällt mir zunächst schwer, ein gutes Anfängermaterial zu finden. Würde jemand in der Lage sein, einige Grundlagen zu empfehlen?

Es hängt davon ab, welche Art von "Anfänger" -Stufe Sie haben möchten. Ich glaube nicht, dass es einen wirklich guten Grundlagentext zur Komplexität von Beweisen gibt (dies gilt wahrscheinlich für die meisten speziellen Teilbereiche der Komplexität). Aber für Quellen für Anfänger (Graduierte) würde ich empfehlen, so etwas wie die grundlegende Exponentialgröße, die an Resolutions-Widerlegungen des Pigeonhole-Prinzips (über zufällige Einschränkungen, Kompromisse zwischen Breite und Größe und mögliche Interpolation) gebunden ist, gut zu verstehen und daraus zu erweitern zeigen weiter. Dies könnte (ungefähr) wie folgt erreicht werden:

1. Stasys Jukna, Extremale Kombinatorik mit Anwendungen in der Informatik, 2001, Springer-Verlag, Abschnitt 4.8.

2. Eli Ben-sasson und Avi Wigderson, Short Proofs are Narrow - Resolution made Simple (2000), JACM.

3. P. Beame und T. Pitassi, Aussagenkomplexität: Vergangenheit, Gegenwart und Zukunft, Aktuelle Trends in der theoretischen Informatik: Beginn des 21. Jahrhunderts (Herausgeber G. Paul, G. Rozenberg und A. Salomaa), World Scientific Publishing 2001, S. 42-70.

4. Pavel Pudlák, Untere Schranken für Auflösungs- und Schnittebenenbeweise und monotone Berechnungen, The Journal of Symbolic Logic, vol. 62 (1997), no. 3, S. 981-998.

Sie können auch den ausführlicheren und ausführlicheren Text lesen:

• Peter Clote und Evangelos Kranakis, Boolesche Funktionen und Rechenmodelle (Kapitel 5)

Für die logischere Seite der Beweiskomplexität, wie Kaveh vorgeschlagen hat, können Sie mit dem Lesen der ersten Kapitel beginnen:

• Stephen Cook und Phuong Nguyen, Logische Grundlagen der Beweiskomplexität (Perspectives in Logic, Cambridge Press, 2010).

Für die algebraischere Seite der Beweiskomplexität empfehle ich, mit Pitassis Umfragepapier von 1996 zu beginnen:

• T. Pitassi. Algebraic Propositional Proof Systems , in der DIMACS-Reihe in Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science, Band 31, Descriptive Complexity and Finite Models, Immerman and Kolaitis (Hrsg.), S. 215-244, 1996.

Für einen schnellen Überblick konsultieren Sie auch Kapitel 5 des von Iddo bereits erwähnten Clote-Kranakis-Buches, das einen Abschnitt über algebraische Beweissysteme enthält.

Das erste Forschungspapier, dessen Lektüre ich empfehlen würde (sowohl weil es wegweisend ist als auch weil es angenehm zu lesen ist), ist das Papier, in dem das Beweissystem Groebner oder Polynomial Calculus eingeführt wurde:

• Clegg, Matthew; Edmonds, Jeffery; Impagliazzo, Russell. Verwendung des Groebner- Basisalgorithmus zum Auffinden von Unzufriedenheitsnachweisen STOC 1996, 174-183. (Auch auf den Webseiten des Autors ohne Paywall verfügbar.)

Ich finde diese einführenden Vorlesungsunterlagen einfach zu lesen: Paul Beames IAS Lectures

Die jüngste und aktuellste allgemeine Beweiskomplexitätserhebung ist wahrscheinlich die von Nathan Segerlind:

Nathan Segerlind: Die Komplexität von Aussagenbeweisen. Bulletin of Symbolic Logic 13 (4): 417-481, 2007 ( http://www.math.ucla.edu/~asl/bsl/1304/1304-001.ps ).

Und jetzt Warnungen vor zwei unverschämten Selbstplugs…

Eine noch aktuellere Umfrage, die sich jedoch enger mit Fragen zu Proofgröße, Proofraum und Kompromissen zwischen Größe und Raum befasst, ist:

Jakob Nordström. Pebble Games, Beweiskomplexität und Time-Space-Kompromisse. Logical Methods in Computer Science, Band 9, Ausgabe 3, Artikel 15, September 2013 ( http://www.lmcs-online.org/ojs/viewarticle.php?id=674 ).

Es gibt auch einige Vorlesungsskripte aus einem kürzlich von mir gehaltenen Kurs über das "Low-End-Spektrum" der Beweiskomplexität (dh vergleichsweise schwache Beweissysteme wie Auflösung, Polynomrechnung und Schnittebenen) und Verbindungen zur SAT-Lösung. Diese Hinweise finden Sie unter http://www.csc.kth.se/~jakobn/teaching/proofcplx11/#scribe-notes (einige sind noch in Bearbeitung, die verfügbaren sollten jedoch in gutem Zustand sein).