Linearer Zeitalgorithmus zum Auffinden von verschobenen max

Angenommen, wir erhalten ein Array das nichtnegative ganze Zahlen enthält (nicht unbedingt verschieden). $A[1..n]$

Lassen sein in der nichtwachsende Reihenfolge sortiert. Wir wollen berechnen $B$ $A$

m = max_{i \in [n]} B [i] + i .

$m = \max_{i\in [n]} B[i]+i.$

Die naheliegende Lösung besteht darin, sortieren und dann berechnen . Dies ergibt einen Algorithmus, der im schlimmsten Fall in der Zeit läuft . $A$ $m$ $O(n \lg n)$

Kann man es besser machen? Können wir in linearer Zeit berechnen ? $m$

Meine Hauptfrage ist die oben. Es wäre jedoch interessant, die folgende Verallgemeinerung des Problems zu kennen.

Lassen werden , sortiert nach irgendeinem Vergleich Oracle und eine Funktion von einem Oracle gegeben. Gegeben und Orakel für und , was können wir sagen , über die benötigte Zeit zu berechnen ? $B$ $A$ $\leq$ $f$ $A$ $\leq$ $f$ $m = \max_{i \in [n]} f(B[i],i)$

Wir können immer noch in Zeit berechnen . Aber können wir für diesen verallgemeinerten Fall eine superlineare Untergrenze beweisen? $m$ $O(n \lg n)$

$\leq$ $f$

— Kaveh
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Antworten:

$m$

$A[0..n-1]$ $B[0..n-1]$ $m = \max_i B[i]+i$

$max = \max_i A[i]$ $max \leq m$

$A[j]$ $B[k]$ $A[j] \leq max - n$

B [k] + k \leq B [k] + (n - 1) = A [j] + (n - 1) \leq (m a x - n) + (n - 1) = m a x - 1 < m a x \leq m .

$B[k] + k \leq B[k] + (n-1) = A[j] + (n-1) \leq (max-n) + (n-1) = max-1 < max \leq m.$

$A[j]$ $A[j] \leq max - n$ $[max-n, max]$

$A$ $[max-n, max]$ $m$

— Marzio De Biasi
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... mmm ... aber was kostet C [x] = C [x] +1?!?

— Marzio De Biasi

[M - n, M]

$[M-n, M]$

| f (B [i], i) - B [i] | = O (n)

$|f(B[i], i) - B[i]| = O(n)$

i

$i$

Danke @Marzio. :) Ich habe Ihre Antwort aus Gründen der Klarheit leicht bearbeitet. Fühlen Sie sich frei, meine Bearbeitung zurückzusetzen oder weiter zu bearbeiten.

— Kaveh

f (x, i)

$f(x,i)$

x

$x$

i \leq n

$i\leq n$

| f (x, i) - x | = O (n)

$|f(x,i)-x| = O(n)$

@Kaveh: Bearbeiten ist ok! Ich schrieb die Antwort schnell und war mir nicht einmal sicher, ob sie richtig war: -S

— Marzio De Biasi

-1

$A$ $m = \max(A) + 1$ $B$ $1$

$f(B[i],j)$ $i = j$ $f(B[i],i)$ $i$ $\max_i f(B[i],i)$ $A$ $\Omega(n\log n)$ $A[i] = B[j]$ $f(A[i],j)$ $f$

— Yuval Filmus
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Was ist, wenn A n - 1 Nullen und eine einzelne Eins hat? Dann ist die Antwort n, nicht 1.

— Grigory Yaroslavtsev

A

$A$

A

$A$

B

$B$

f

$f$

o (n \lg n)

$o(n\lg n)$

f

$f$

(B [i], i)

$(B[i],i)$

f

$f$