Definition 18.30. Eine Funktion mit l < n wird als ( s , ϵ ) -sicherer Pseudozufallsgenerator bezeichnet, wenn für eine Schaltung C der Größe s auf n Variablen
| P r [ C ( y ) = 1 ] - P r [ C ( G (G : { 0 , 1 }l→ { 0 , 1 }nl < n( s , ϵ )C.sn
wobei y in { 0 , 1 } n und x in { 0 , 1 } l gleichmäßig zufällig ausgewählt wird.
| P.r [ C.( y) = 1 ] - P.r [ C.( G ( x ) ) = 1 ] | < ϵ ,
y{ 0 , 1 }nx{ 0 , 1 }l
Definition 18.31. Sei eine boolesche Funktion. Wir sagen , dass f ist ( s , ε ) -hard wenn für jede Schaltung C der Größe s ,
| P r [ C ( x ) = f ( x ) ] - 1f: 0 , 1n→ 0 , 1f( s , ϵ )C.s
wobeixin{0,1}ngleichmäßig zufällig ausgewählt wird.
| P.r [ C.( x ) = f( x ) ] - 12| <ϵ,
x{ 0 , 1 }n
Ein Pseudozufallsfunktionsgenerator ist eine Boolesche Funktion . Indem wir die y- Variablen zufällig einstellen, erhalten wir ihre zufällige Unterfunktion f y ( x ) = f ( x , y ) . Sei h : { 0 , 1 } n → { 0 , 1f( x , y) : { 0 , 1 }n + n2→ { 0 , 1 }yfy( x) = f(x , y) sei eine wirklich zufällige boolesche Funktion. Ein Generator f ( x , y ) ist gegen Γ- Angriffe gesichert, wenn für jede Schaltung C in Γ ,
| P r [ C ( f y ) = 1 ] - P r [ C ( h ) = 1 ] | < 2 - n 2 .h : { 0 , 1 }n→ { 0 , 1 }f( x ,y)ΓC.Γ
|P.r [C.( fy) = 1 ] -P.r [C.( h ) = 1 ] | < 2- n2.
Ein natürlicher Beweis gegen Λ ist eine Eigenschaft Φ : B n → 0 , 1, die die folgenden drei Bedingungen erfüllt:
1. Nützlichkeit gegen Λ : Φ ( f ) = 1 impliziert f ∉ Λ .
2. Größe: Φ ( f ) = 1 für mindestens 2 - O ( n ) Bruchteil aller 2 2 n Funktionen f ∈ΓΛΦ : B.n→ 0 , 1
ΛΦ ( f) = 1f∉ Λ
Φ ( f) = 12- O ( n )22n .
3. Konstruktivität: Φ Φ ∈, dh als Boolesche Funktion in N = 2 n Variablen betrachtet, gehört die Eigenschaft Φ selbst zur Klasse Γ . f∈ B.n
& PHgr; & egr ; & Ggr;N.= 2nΦΓ
Satz 18.35. Wenn eine Komplexitätsklasse einen Pseudozufallsfunktionsgenerator enthält, der gegen Γ-Angriffe sicher ist, gibt es keinen Γ- natürlichen Beweis gegen Λ .ΛΓΛ
Die Frage ist: 1. Glauben wir, wenn es so harte Funktionen gibt? 2. Wie konstruktiv / groß erwarten wir die Eigenschaften in derzeit möglichen Trennungsnachweisen?
Auf der anderen Seite hat Razbarov an verschiedenen Stellen erwähnt, dass er das Ergebnis persönlich als Leitfaden für die Vermeidung und nicht als wesentliches Hindernis für den Nachweis von Untergrenzen ansieht.
Relativierung und Algebraisierung sind etwas kniffliger und hängen davon ab, wie wir die Relaztivierung für diese Klassen definieren. Aber in der Regel einfache Diagonalisierung (eine Diagonalisierung, die für alle Maschinen, die dieselbe Funktion berechnen, dasselbe Gegenbeispiel verwendet, dh das Gegenbeispiel hängt nur davon ab, welche Maschinen in der kleineren Berechnung und nicht von ihrem Code und wie sie berechnen ) kann diese Klassen nicht trennen.
Es ist möglich, nicht einfache Diagonalisierungsfunktionen aus indirekten Diagonalisierungsergebnissen wie Zeit-Raum-Untergrenzen für SAT zu extrahieren.