Was sind die zwingenden Gründe für die Annahme ,

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Was sind die überzeugenden Gründe für die Annahme von ? L ist die Klasse von Log-Space-Algorithmen mit Zeigern auf die Eingabe. $L\neq P$

Angenommen, L = P für den Moment. Wie würde ein Log-Space-Algorithmus für ein P-complete-Problem in seinen allgemeinen Umrissen aussehen?

cc.complexity-theory complexity-classes

— Jumer
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In gewissem Sinne wäre es ein Raumkomprimierungsalgorithmus für eine P-Zeit-Turing-Maschinenberechnung, die normalerweise P-Raum benötigt. wenn also L ≠ P ist, dann gibt es eine gewisse (

— In-

1

siehe auch Abtrennen L / P & kintalis Blog - Eintrag dort zitierte

— VZN

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Mulmuley Ergebnis (von Mulmuley Homepage ohne paywall) , dass in dem PRAM - Modell ohne Bitoperationen, " ". (In dem üblichen booleschen Modell, in dem lebt, ist ) Dieses Modell ist stark genug, dass das Ergebnis impliziert, dass jeder Algorithmus für ein vollständiges Problem ganz anders aussehen müsste als die meisten bekannten Algorithmen für vollständige Probleme. $\mathsf{P} \neq \mathsf{NC}$ $\mathsf{L}$ $\mathsf{L} \subseteq \mathsf{NC}$ $\mathsf{L}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{P}$

Das PRAM-Modell ohne Bitoperationen ist ein ungleichmäßiges algebraisches Modell über (ähnlich wie bei algebraischen Rechenbäumen oder dem algebraischen RAM-Modell nach Blum-Shub-Smale), bei dem das ungleichmäßige Programm nicht nur von der Anzahl der Ganzzahleingaben abhängen kann, sondern auch auf ihre Gesamtbitlänge. Auf diese Weise ist es kein "rein" algebraisches Modell, sondern lebt irgendwo zwischen algebraisch und boolesch. Dieses Modell umfasst Poly-Time-Algorithmen für lineare Programmierung, Maxflow, Mincut, Weighted Spanning Tree, kürzeste Pfade und andere kombinatorische Optimierungsprobleme, den Logspace-Algorithmus für Baumisomorphie (siehe Kommentare unten) und Algorithmen zur Approximation der komplexen Wurzeln von Polynomen. Deshalb sage ich einen Algorithmus für ein $\mathbb{Z}$ $\mathsf{L}$ $\mathsf{P}$ - Ein vollständiges Problem (von dem die meisten Leute glauben, dass es es es nicht gibt, wie Ihre Frage zeigt) müsste ganz anders aussehen.

— Joshua Grochow
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Wie hat Mulmuley in seiner Vermutung auf Seite 62

mit Mincost-Flow in Verbindung gebracht? Warum muss

linear sein und

eine Bijektion? Die Vermutung scheint zu implizieren, dass keine lineare Rang-

Karte (da die inverse Karte einer linearen 1−1-Karte linear ist), die mit der Nullmenge von

bewertet wurde,

abdecken kann . Ist meine Interpretation korrekt?

S L_{m} (C)

$SL_m(C)$

L

$L$

F

$F$

k

$k$

S L_{m} (C)

$SL_m(C)$

L (n)

$L(n)$

— T ....

(Gute Frage, scheint aber etwas orthogonal zu der hier gestellten Frage zu sein ...) Ja. Alles, was im PRAM-Modell ohne Bitoperationen effizient berechenbar ist, hat eine kleine Formel

, daher ist (nach Valiant) eine Projektion von det:

. Insbesondere ist

iff

φ

$\varphi$

φ (x) = det (F (x))

$\varphi(x) = \det(F(x))$

x \in L (n)

$x \in L(n)$

det (F (x)) = 1

$\det(F(x)) = 1$

x \in F^{- 1} (S L_{m})

$x \in F^{-1}(SL_m)$ .

— Joshua Grochow

die einzige Annahme ist

was der Fall zu sein scheint. Sehr interessant! Wie bei allen anderen derartigen Komplexität assumotions und Beweise - ist die andere Art und Weise bekannt: dass , wenn ist

, ist

? Ich habe solche Gespräche in der Komplexitätstheorie noch nie gesehen oder sind solche Gespräche nicht möglich?

d e t \notin N C^{1}

$det\notin NC^{1}$

d e t \in N C^{1}

$det\in NC^1$

P = N C

$P=NC$

— T ....

@JAS: Ich verstehe nicht, was du mit "die einzige Annahme ist ..." meinst: Ich glaube nicht, dass es folgt, dass

, wenn das ist, was du gesagt hast ...

det \notin N C^{1} \Rightarrow P \neq N C

$\det \notin NC^1 \Rightarrow P \neq NC$

— Joshua Grochow

1

@JAS: Die Annahme, dass

die Vermutung stützt , impliziert aber nicht die Vermutung. Er erwähnt das Gegenteil, dass , wenn eine perfekte Abstimmung

dann die Vermutung für kleine falsch

. Wenn die Vermutung wahr ist, ist die perfekte Übereinstimmung

. Beachten Sie, dass dies die entgegengesetzte Richtung zu dem ist, was Sie gesagt haben.

d e t \notin N C^{1}

$det \notin NC^1$

\in N C^{1}

$\in NC^1$

a

$a$

\notin N C^{1}

$\notin NC^1$

— Joshua Grochow

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Es gibt eine Reihe von Arbeiten von M. Hofmann und U. Schöpp , die den intuitiven Begriff "typischer logarithmischer Raumalgorithmen" formalisieren, wobei nur eine konstante Anzahl von Zeigern auf die Eingabedatenstruktur als Programmiersprache PURPLE (reine Zeigerprogramme mit Iteration.)

Obwohl PURPLE-Programme nicht alle Werte erfassen (es hat sich gezeigt, dass sie nicht in der Lage sind, ungerichtete st-Verbindungen zu bestimmen), wird ihre Erweiterung mit der Zählung so dargestellt, dass ein großer Teil von erfasst wird, nicht jedoch das P-vollständige Problem Horn-SAT . Dies zeigt der jüngste Aufsatz der Reihe: M. Hofmann, R. Ramyaa und U. Schöpp: Reine Zeigerprogramme und Baumisomorphie, FOSSACS 2013. $\mathsf{L}$ $\mathsf{L}$

Die Schlussfolgerung scheint zu sein, dass logarithmische Raumalgorithmen für vollständige Probleme sehr untypisch sein müssen und über das hinausgehen müssen, was mit Zählen in PURPLE implementiert werden kann. $\mathsf{P}$

— Jan Johannsen
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5

PURPLE with counting ist ein interessantes Modell und entspricht meiner naiven Intuition von Logspace-Algorithmen. Aber ich weiß nicht, ob dieses Ergebnis ein guter Beweis für

: Sie sagen sogar: "So kann die Hornzufriedenheit nicht in PURPLE, das mit Nichtdeterminismus und Zählen erweitert ist, entschieden werden, sondern genau aus dem Grund, dass ein bestimmtes LOGSPACE-Problem, nämlich der Baum Isomorphismus kann nicht. " Dies besagt im Wesentlichen, dass das Ergebnis eher die Schwäche von PURPLE + count (entsprechend der naiven Intuition von logspace algos) ist als die Schwäche von L ...

L \neq P

$L \neq P$

— Joshua Grochow

3

Die beschreibende Komplexität hat versucht, einige Antworten zu liefern.

FO (Logik erste Ordnung), mit ord (Ordnung der Domäne) und TC (transitive Schließung) . $= L$

FO + ord + LFP (least Festpunkt) . $= P$

Es stellt sich also die Frage: Ist FO + ord + TC FO + ord + LFP? $\subset$

Andererseits kann FO + LFP (ohne ord) nicht einmal zählen! Beispielsweise kann es nicht die Tatsache ausdrücken, dass die Kardinalität der Domäne gerade ist. Diese Logik kann sicher nicht erfassen - aber die Frage ist, kann sie oder erfassen ? $P$ $L$ $NL$

Siehe zum Beispiel http://www.cs.umass.edu/%7Eimmerman/pub/EATCScolumn.pdf

Und dann erfasst die (SO) + Horn-Logik zweiter Ordnung P, wohingegen SO + Krom NL erfasst. Siehe Erich Gradel, Erfassung von Komplexitätsklassen durch Fragmente der Logik zweiter Ordnung , Theoretical Computer Science, 1992.

— Martin Seymour
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3

FO + LFP ohne Bestellung kann

sicherlich nicht erfassen , aus genau dem Grund, den Sie zitieren: Es kann nicht zählen, nicht einmal modulo 2.

L

$\mathsf{L}$

— Jan Johannsen

Zustimmen. Dann lautet die Frage (oder vielmehr eine der Fragen): Ist FO + LFP (ohne ord) eine strenge Teilmenge von FO + LFP (mit ord)?

— Martin Seymour

0

$\sf{P}$ $\sf{GEN}$ $k$ $\Theta(k \log n)$

— NisaiVloot
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