Ist der Zusammenbruch von

Zwischen jeder Ebene der Polynomhierarchie sind verschiedene Komplexitätsklassen enthalten, einschließlich $\Delta_i^{\text{P}}$ , $\text{DP}$ , $\text{BH}_k$ und & $\Sigma_i^\text{P} \cap \Pi_i^\text{P}$ . In Ermangelung einer besseren Terminologie werde ich diese und alle anderen Klassen als Zwischenklassen zwischen den Stufen $i$ und $i+1$ in der Polynomhierarchie bezeichnen. Für die Zwecke dieser Frage annehmen , dass sie die Klassen enthalten sind in $\Sigma_{i+1}^\text{P} \cap \Pi_{i+1}^\text{P}$ aber enthalten und / oder . Wir wollen mit vermeiden , wenn möglich, wie es trivialerweise gleich ist , wenn es um den kollabiert Ebene. $\Sigma_i^\text{P}$ $\Pi_i^\text{P}$ $\Sigma_{i+1}^\text{P} \cap \Pi_{i+1}^\text{P}$ $\text{PH}$ ${i+1}^{th}$

Darüber hinaus definieren die folgenden:
$\text{DP}_i = \left \{ L \cap L' : L \in \Sigma_i^\text{P} \text{ and } L' \in \Pi_i^{\text{P}} \right \}$

Das Obige ist eine Verallgemeinerung der Klasse (auch ). In dieser Definition entspricht . Es wird in einer anderen cstheory.se-Frage betrachtet . Es ist leicht zu erkennen, dass und sowohl als auch . $\text{DP}$ $\text{D}^\text{P}$ $\text{DP}$ $\text{DP}_1$ $\text{DP}_i \subseteq \Delta_{i+1}^{\text{P}}$ $\Sigma_i^\text{P}$ $\Pi_i^\text{P}$

Referenzdiagramm:

Diagramm von PH

Frage:
Nehmen wir an , das Polynom Hierachie kollabiert auf die Ebene, aber nicht nicht kollabieren zu dem Ebene. Das heißt, und . ${i+1}^{th}$ $i^{th}$ $\Sigma_{i+1}^\text{P}=\Pi_{i+1}^\text{P}$ $\Sigma_{i}^\text{P}\neq\Pi_{i}^\text{P}$

Können wir etwas mehr über die Beziehungen zwischen diesen Zwischenklassen selbst und anderen auf einer Ebene unter sagen ? Gibt es ein Schema für eine Sammlung von Komplexitätsklassen, bei dem die Klassen für jede Sammlung genau dann gleichwertig sind, wenn die genau auf eine willkürlich gewählte Ebene zusammenfällt? $i+1$ $\text{PH}$

So wie ein followup sei angenommen , dass die Hierarchie auf einen bestimmten einen dieser Zwischenklassen (wie beispielsweise kollabierte ). In Abhängigkeit von der Klasse ausgewählt, wissen wir , ob dieser Zusammenbruch nach unten verlängern fortsetzen müssen, vielleicht sogar auf den Ebene? $\Delta_{i+1}^{\text{P}}$ $i^{th}$

Die obige Frage wurde teilweise untersucht und in einem Aufsatz von Hemaspaandra et al. al:
Ein Abwärtskollaps innerhalb der Polynom-Hierarchie
Kennt jemand zufällig weitere Beispiele, die in diesem Artikel nicht erwähnt werden, oder weiß er genau, was geschehen muss, damit eine Klasse dies erreicht?

cc.complexity-theory polynomial-hierarchy

— mdxn
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Ich habe keine gute Antwort, aber im Geiste der Komplexität habe ich einige Antworten, die darauf hindeuten, dass eine gute Antwort schwer zu bekommen sein könnte :).

Man beachte, dass die verallgemeinerte Version von Ladners Theorem impliziert, dass es unendlich viele Polyzeitgrade genau zwischen und jedem Polyzeitgrad genau darüber gibt. Insbesondere dann , wenn die Hierarchie kollabiert auf die -ten Ebene , aber nicht die -te, dann gibt es unendlich viel p-Grad zwischen und . $\mathsf{\Sigma_i P}$ $i+1$ $i$ $\mathsf{\Sigma_i P}$ $\mathsf{\Sigma_{i+1} P} \cap \mathsf{\Pi_{i+1} P}=\mathsf{\Sigma_{i+1} P}$
Wenn ich mich richtig erinnere, für die ein Orakel Konstruktion sieht aus wie die arithmetische Hierarchie immer noch ein offenes Problem ist. Mit "sieht aus wie die arithmetische Hierarchie" meine ich , dass nicht kollabiert und für alle . Dies deutet zumindest darauf hin, dass die Antwort auf Ihre Frage möglicherweise nicht bekannt ist. $\mathsf{PH}$ $\mathsf{PH}$ $\mathsf{\Sigma_{k} P} \cup \mathsf{\Pi_k P} \subsetneq \mathsf{\Delta_{k+1} P} = \mathsf{\Sigma_{k+1} P} \cap \mathsf{\Pi_{k+1} P}$ $k$
Ker-I Ko gibt Aussprüche , in dem er die Höhe der trennt von denen der . Da diese beiden Hierarchien einander verflechten, das gibt Ihnen zumindest einige Informationen über relativierbare Einstürze von Problemen zwischen den Niveaus von . $\mathsf{BPH}$ $\mathsf{PH}$ $\mathsf{PH}$
Diese nächste Referenz ist die falsche Richtung, aber Sie interessieren sich möglicherweise auch für das Ergebnis und seine Techniken. Chang und Kadin zeigten , dass , wenn die Boolesche Hierarchie (die vollständig unterhalb der zweiten Ebene von Menschenleben , sondern erstreckt kollabiert seiner auf eine ganze Hierarchie) -ten Ebene dann kollabiert zum -ten Pegel des Booleschen Hierarchie über . $\mathsf{PH}$ $\mathsf{DP}$ $k$ $\mathsf{PH}$ $k$ $\mathsf{\Sigma_2 P}$

— Joshua Grochow
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Should

sein

Σ_{k} P \cup Π_{k} P ⊊ Δ_{k} P = Σ_{k + 1} P \cap Π_{k + 1} P

$\mathsf{\Sigma_{k} P} \cup \mathsf{\Pi_k P} \subsetneq \mathsf{\Delta_k P} = \mathsf{\Sigma_{k+1} P} \cap \mathsf{\Pi_{k+1} P}$

Δ_{k} P = Σ_{k} P \cup Π_{k} P ⊊ Δ_{k + 1} P = Σ_{k + 1} P \cap Π_{k + 1} P ?

$\mathsf{\Delta_{k} P}=\mathsf{\Sigma_{k} P} \cup \mathsf{\Pi_k P} \subsetneq \mathsf{\Delta_{k+1} P} = \mathsf{\Sigma_{k+1} P} \cap \mathsf{\Pi_{k+1} P}?$

— T ....

Σ_{k - 1}^{P} \cup Π_{k - 1}^{P} \subseteq Δ_{k}^{P} \subseteq Σ_{k}^{p} \cap Π_{k}^{P} \subseteq Σ_{k}^{P} \cup Π_{k}^{P}

$\Sigma_{k-1}^P\cup\Pi_{k-1}^P\subseteq \Delta_k^P\subseteq \Sigma_k^p\cap\Pi_k^P\subseteq \Sigma_k^P\cup\Pi_k^P$

P = Σ_{0}^{P} \cup Π_{0}^{P} = P \cup P \subseteq Δ_{1}^{P} = P \subseteq Σ_{1}^{p} \cap Π_{1}^{P} = N P \cap c o N P \subseteq Σ_{1}^{P} \cup Π_{1}^{P} = N P \cup c o N P \subseteq Δ_{2}^{P} = P^{N P} \subseteq Σ_{2}^{P} \cap Π_{2}^{P} \subseteq Σ_{2}^{P} \cup Π_{2}^{P} \dots

$P=\Sigma_{0}^P\cup\Pi_{0}^P=P\cup P\subseteq \Delta_1^P=P\subseteq \Sigma_1^p\cap\Pi_1^P=NP\cap coNP\subseteq \Sigma_1^P\cup\Pi_1^P=NP\cup coNP\subseteq \Delta_2^P=P^{NP}\subseteq\Sigma_2^P\cap\Pi_2^P\subseteq\Sigma_2^P\cup\Pi_2^P\dots$