Minimierung verbleibender Automaten mit endlichen Zuständen

Restliche Automaten mit endlichen Zuständen (RFSAs, definiert in [DLT02]) sind NFAs, die einige nette Merkmale gemeinsam mit DFAs haben. Insbesondere gibt es immer einen kanonischen RFSA mit minimaler Größe für jede reguläre Sprache, und die Sprache, die von jedem Zustand im RFSA erkannt wird, ist genau wie in einem DFA ein Residuum. Während jedoch ein Minimum-DFA-Status eine Bijektion mit allen Residuen bildet, befinden sich die kanonischen RFSAs-Status in einer Bijektion mit den primären Residuen. Es kann exponentiell weniger davon geben, sodass RFSAs für die Darstellung regulärer Sprachen viel kompakter als DFAs sein können.

Ich kann jedoch nicht sagen, ob es einen effizienten Algorithmus zur Minimierung von RFSAs gibt oder ob es ein Härteergebnis gibt. Wie komplex ist die Minimierung von RFSAs?

Das Durchsuchen von [BBCF10] scheint nicht allgemein bekannt zu sein. Einerseits erwarte ich, dass dies schwierig sein wird, da viele einfache Fragen zu RFSAs lauten: "Ist diese NFA eine RFSA?" sind in diesem Fall sehr schwer, PSPACE-komplett. Andererseits zeigt [BHKL09], dass kanonische RFSAs in Angluins minimal adäquatem Lehrermodell [A87] effizient erlernbar sind, und ein effizientes Erlernen eines minimalen RFSA und Minimieren von RFSAs als gleich schwierig erscheinen sollten. Soweit ich jedoch feststellen kann, impliziert der Algorithmus von [BHKL09] keinen Minimierungsalgorithmus, da die Größe der Gegenbeispiele nicht beschränkt ist und nicht klar ist, wie RFSAs effizient auf Gleichheit getestet werden können, um das Gegenbeispiel-Orakel zu simulieren . Das Testen von zwei NFAs auf Gleichheit ist beispielsweise PSPACE-vollständig .

Verweise

[A87] Angluin, D. (1987). Regelmäßige Mengen aus Abfragen und Gegenbeispielen lernen. Information and Computation, 75: 87 & ndash; 106

[BBCF10] Berstel, J., Boasson, L., Carton, O. & Fagnot, I. (2010). Minimierung von Automaten. arXiv: 1010,5318 .

[BHKL09] B. Bollig, P. Habermehl, C. Kern & M. Leucker (2009). Angluin-Style Lernen von NFA. In IJCAI 9: 1004-1009.

[DLT02] Denis, F., Lemay, A. & Terlutte, A. (2002). Restliche Automaten mit endlichen Zuständen. Fundemnta Informaticae , 51 (4): 339 & ndash; 368.

Das Problem "DFA NFA" bezeichne folgendes: Gibt es bei einem DFA A und einer ganzen Zahl k einen NFA mit höchstens k Zuständen, die A entsprechen ? In ähnlicher Weise bezeichne "DFA → RFSA" das aus dem Obigen erhaltene Problem, wenn wir "NFA" durch "verbleibender endlicher Automaten" ersetzen.$\to$$A$$k$$k$$A$$\to$

Jiang und Ravikumar zeigten, dass das Problem "DFA NFA" PSPACE-vollständig ist, indem das Problem "DFA-Union-Universalität" reduziert wurde. Das letztere Problem eine Liste von DFAs gegeben hat A 1 , A 2 , ... , A n , und fragt , ob ⋃ n i = 1 L ( A i ) = Σ * .$\to$$A_1,A_2,\ldots,A_n$$\bigcup_{i=1}^nL(A_i) = \Sigma^*$

Ihre Reduktion erfolgt durch Definieren einer Sprache aus diesen DFAs und einer geeigneten ganzen Zahl k , so dass ein DFA, das L akzeptiert, in einem Zeitpolynom in der Größe der DFAs A i konstruiert werden kann . Dann zeigen sie, dass jeder NFA (also erst recht jeder RFSA), der L akzeptiert, mindestens k Zustände benötigt, falls ⋃ n i = 1 L ( A i ) universell ist und mindestens k + 1 Zustände andernfalls. Dann konstruieren sie einen k- Zustand NFA N , der akzeptiert$L$$k$$L$$A_i$$L$$k$$\bigcup_{i=1}^nL(A_i)$$k+1$$k$$N$ iff ⋃ n i = 1 L ( A i ) = Σ * .$L$$\bigcup_{i=1}^nL(A_i) = \Sigma^*$

$R$$S$$(x_i,y_i)$$i$$x_iy_i\in L$$i\neq j$$x_iy_j \notin R$$x_jy_i\notin R$

$S$$k$$\bigcup_{i=1}^nL(A_i)$$x_i$$S$$N$$q_i$$x_i$$q$$x_i^{-1}L$$N$

$\to$$\to$$\to$$\to$

$N$

T. Jiang und B. Ravikumar. Minimale NFA-Probleme sind schwierig. SIAM Journal on Computing, 22 (6): 1117–1141, Dezember 1993.

Hermann Gruber und Markus Holzer. Niedrigere Grenzen für nicht deterministische Zustandskomplexität zu finden ist schwierig. In Oscar H. Ibarra und Zhe Dang, Herausgeber, 10. Internationale Konferenz über Entwicklungen in der Sprachtheorie (DLT 2006), Santa Barbara (CA), USA, Band 4036, Lecture Notes in Computer Science, S. 363–374. Springer, Juni 2006.

Hermann Gruber und Markus Holzer. Es ist schwierig, niedrigere Grenzen für nicht deterministische Zustandskomplexität zu finden. Technischer Bericht ECCC TR06-027, Elektronisches Kolloquium zur Komplexität von Rechnern, 2006.