Normalerweise verwendet die Art und Weise, wie Menschen beweisen, dass sich ein Komplexitätssatz relativiert, das folgende zweistufige Verfahren:
Beweisen Sie den Satz.
Beachten Sie, dass Ihr Beweis relativiert! Mit anderen Worten, dass sich im Beweis überhaupt nichts ändert, wenn alle im Beweis genannten Maschinen Zugang zu demselben Orakel A erhalten.
Ja, so einfach ist das wirklich. Um es streng zu machen, sollten Sie den gesamten Beweis neu schreiben und überall hochgestellte Zeichen von "A" hinzufügen. In der Praxis fügen die Leute, wenn sie dieses Problem überhaupt bemerken, normalerweise nur eine Bemerkung hinzu wie "Dieses Ergebnis lässt sich leicht relativieren".
Wenn die Leute diesbezüglich unbekümmert erscheinen, dann deshalb, weil sie aus Erfahrung gelernt haben, dass nur bestimmte Techniken (wie die Arithmetisierung) möglicherweise einen Beweis dafür liefern können, dass sie nicht relativieren. Wenn Ihr Beweis diese Techniken nicht verwendet, wird er relativiert.
(Eine enge Analogie: Nehmen wir an, Sie beweisen einen Satz über reelle Zahlen, aber Ihr Beweis verwendet niemals etwas anderes als die Tatsache, dass es sich um ein Feld handelt. Dann genügt es, diese Tatsache zu beachten, um zu zeigen, dass ein analoger Satz gelten muss für komplexe Zahlen, P-Adics usw. Der Beweis muss nicht wiederholt werden.)
Die einzige Situation, in der mehr Diskussion notwendig ist, ist, dass es nicht einmal offensichtlich ist, was es bedeutet , Ihren Satz zu relativieren. (ZB, was ist der Orakelzugriffsmechanismus?) Wie Kaveh oben ausgeführt hat, gibt es keine genau definierte mathematische Operation zum "Relativieren" eines Komplexitätssatzes, genauso wie es keine genau definierte mathematische Operation zum "Komplexieren" eines Satzes über reelle Zahlen gibt. Beachten Sie, dass es im letzteren Fall nicht ausreicht, jedes Vorkommen von R durch C zu ersetzen: Sie müssen wahrscheinlich auch x 2 durch | x | ersetzen 2 (an einigen Stellen nicht an anderen!) Und andere Änderungen vornehmen, die für einen Mathematiker "offensichtlich", aber formal schwer aufzulisten sind. Ebenso ist es in der Komplexitätstheorie normalerweise soEs ist offensichtlich, was es bedeutet, einen Satz zu "relativieren" (dh wer sollte Zugang zu A erhalten, und was bedeutet es für sie, darauf zuzugreifen?), aber in einigen Fällen kann es ziemlich subtil sein. Weitere Informationen zu diesem Problem finden Sie hier.
Wenn man seine Frage auf den Kopf stellt, könnte man fragen:
Gibt es ein Beispiel für einen relativierenden Komplexitätssatz, für den es wesentlich schwieriger ist zu beweisen, dass der Satz relativiert, als dass der Satz wahr ist?
Interessanterweise kann ich kein einziges unbestreitbares Beispiel finden (obwohl es vielleicht jemand anderes kann)! Hier ist das Beste, was ich tun kann:
Neuere Arbeiten zum blinden und authentifizierten Quantencomputing (von Broadbent-Fitzsimons-Kashefi, Reichardt-Unger-Vazirani und anderen) könnten zu Beispielen führen. In diesen Fällen ist die Situation so, dass wir nicht wissen, ob die Theoreme relativieren oder nicht - aber wenn sie sich relativieren, wird sicherlich eine neue Idee benötigt, die über das hinausgeht, was in den vorhandenen Beweisen enthalten ist.
Ein weiteres Beispiel könnte die zufällige Selbstreduzierbarkeit von #P sein. Wenn Sie die meisten Komplexitätstheoretiker fragen würden, warum dies wahr ist, würden sie wahrscheinlich sagen, dass die bleibende Zahl sowohl # P-vollständig als auch zufällig selbstreduzierbar ist. Das stimmt, aber es beantwortet nicht die Frage, ob #P relativ zu einem Orakel rsr ist. Nun, es stellt sich heraus, dass #P relativ zu jedem Orakel rsr ist , und es ist nicht einmal schwer, es zu beweisen - aber Sie müssen ein direktes Argument unter Verwendung von Polynomen angeben, anstatt die Eigenschaften des Permanenten anzusprechen.
In Abschnitt 8 des Algebrisierungspapiers von mir und Avi Wigderson haben wir gezeigt, dass das GMW-Theorem (dass NP rechnergestützte Null-Wissens-Beweise hat) algebrisiert. Und das wirklich hat neue Ideen nehmen: nicht „dramatisch“ neu, aber sicherlich nirgendwo in den üblichen Beweisen für den GMW Satz gefunden werden. Dies dient natürlich eher der Algebrisierung als der Relativierung.
Nachtrag: Als Antwort auf eine weitere Frage des OP kenne ich keinerlei Techniken, um zu zeigen, dass sich Ihr Beweis notwendigerweise relativieren würde , wenn Sie eine bestimmte Komplexitätsvermutung beweisen könnten (die Sie noch nicht haben). Ja, solange Sie Ihre "Suche nach einem Beweis" nur auf Relativierungstechniken beschränken, können Sie sicher sein, dass Ihr Beweis notwendigerweise relativiert wird, wenn es Ihnen jemals gelingt, einen Beweis zu finden. Und in der Praxis ist das oft das, was Menschen tun (z. B. weil sie bestimmte Vorstellungen davon haben, wie ein Beweis aussehen würde, und diese Vorstellungen relativieren). Aber ich kenne keine Möglichkeit, a priori zu garantieren, dass Sie durch die Ausweitung Ihrer Suche auf nicht relativierende Techniken keinen Beweis finden konnten, der Ihnen zuvor entgangen war.