Beispiele für "nicht verwandte" Mathematik, die eine fundamentale Rolle in TCS spielt?

Bitte führen Sie Beispiele auf, bei denen ein Satz aus der Mathematik, der normalerweise nicht in der Informatik angewendet wurde, zum ersten Mal verwendet wurde, um ein Ergebnis in der Informatik zu beweisen. Die besten Beispiele sind solche, bei denen die Verbindung nicht offensichtlich war, aber sobald sie entdeckt wurde, ist dies eindeutig der "richtige Weg", dies zu tun.

Dies ist die entgegengesetzte Richtung der Frage Anwendungen von TCS auf die klassische Mathematik?

Siehe zum Beispiel "Satz und Isolierung von Green in ebenen Graphen" , in dem ein Satz von Green (der bereits anhand eines technischen Beweises bekannt war) unter Verwendung des Satzes von Green aus multivariaten Rechnungen erneut bewiesen wird.

Welche anderen Beispiele gibt es?

Maurice Herlihy, Michael Saks, Nir Shavit und Fotios Zaharoglou erhielten 2004 den Godel-Preis für ihre Verwendung der algebraischen Topologie bei der Untersuchung einiger Probleme des verteilten Rechnens.

Ich habe ein Beispiel aus einer Arbeit, die ich vor einigen Jahren zusammen mit Noga Alon und Muli Safra verfasst habe:

Noga verwendete Festkomma-Theoreme der algebraischen Topologie, um den "Halsketten-Aufteilungssatz" zu beweisen: Wenn Sie eine Halskette mit Perlen vom Typ t haben und Teile davon auf b Personen aufteilen möchten, erhält jede von ihnen die gleiche Anzahl Perlen von jedem Typ ( Angenommen, b teilt t), können Sie dies immer tun, indem Sie die Kette an höchstens (b-1) t Stellen zuschneiden.

Wir verwendeten diesen Satz, um ein kombinatorisches Objekt zu konstruieren, mit dem wir die Härte der Approximation von Set-Cover nachweisen konnten.

Weitere Informationen finden Sie hier: http://people.csail.mit.edu/dmoshkov/papers/k-restrictions/k-rest.html

Im Nachhinein mag dies offensichtlich sein, aber ich habe es immer gemocht, dass Steele, Yao und Ben-Ors Anwendung des Satzes von Oleinik-Petrovsky / Milnor / Thom (der die Betti-Zahlen von echten semi-algebraischen Mengen begrenzt) sich als niedriger erweisen Grenzen im algebraischen Entscheidungsbaum und im algebraischen Berechnungsbaum Berechnungsmodelle.

Eines meiner Lieblingsergebnisse ist die Verwendung topologischer Argumente in Lovasz 'Beweis der Kneser-Vermutung und die Verwendung topologischer ( und gruppentheoretischer ) Methoden im Kahn-Saks-Sturtevant-Angriff auf die starke Aandera-Rosenberg-Karp-Vermutung über Ausweichbarkeit .

Die Darstellungstheorie endlicher Gruppen wird im Cohn-Kleinberg-Szegedy-Umans-Ansatz zur Matrixmultiplikation verwendet . Sie zeigen, dass es Matrixmultiplikationsalgorithmen mit quadratischer Komplexität gibt, wenn Familien von Kranzprodukten von Abel mit symmetrischen Gruppen existieren, die bestimmte Bedingungen erfüllen.

Die Darstellungstheorie (von algebraischen Gruppen) zeigt sich auch in Mulmuley und Sohonis Ansatz der geometrischen Komplexitätstheorie für untere Schranken. Es ist noch nicht klar, ob dies als Anwendung gilt, da mit diesem Ansatz noch keine neuen Komplexitätsergebnisse nachgewiesen wurden, aber zumindest eine interessante Verbindung zwischen zwei Bereichen hergestellt wurde, die auf den ersten Blick völlig unabhängig zu sein scheinen.

Es gibt viele solcher Beispiele. Als ich die Komplexitätstheorie zum ersten Mal lernte, fand ich es überraschend, dass grundlegende Sätze über Polynomwurzeln (wie das Schwartz-Zippel-DeMillo-Lipton-Lemma) etwas mit der Frage zu tun hatten, ob interaktive Beweise den Polynomraum simulieren können ( ). Natürlich wurden diese Eigenschaften von Polynomen bereits in früheren Arbeiten verwendet, und heutzutage ist die Verwendung von "Polynomisierungs" -Berechnungen in der Komplexitätstheorie zum Standard geworden.$IP = PSPACE$

Die Approximationstheorie (die sich mit der Approximation möglicherweise komplizierter oder unnatürlicher reeller Funktionen durch einfache Funktionen wie Polynome niedrigen Grades befasst) hat in Bezug auf die Schaltungskomplexität, die Komplexität von Quantenabfragen, die Pseudozufälligkeit usw. viele Verwendungen.

Ich denke, eine der coolsten Anwendungen von Werkzeugen aus diesem Bereich stammt aus diesem Aufsatz von Beigel, Reingold und Spielman, in dem gezeigt wurde, dass die Komplexitätsklasse PP unter Verwendung der Tatsache, dass die Vorzeichenfunktion durch ein Tief angenähert werden kann, unter Schnittmenge geschlossen wird -grad rationale Funktion.

Nisan und Szegedy und Paturi zeigten untere Grenzen für die Approximation symmetrischer Funktionen durch Polynome niedrigen Grades. Diese Methode wird häufig zum Nachweis der unteren Grenzen der Quantum-Abfragekomplexität verwendet. Siehe zum Beispiel die Vorlesungsunterlagen von Scott Aaronson .

Eine weitere schöne Idee: Yaos Idee, Minimax-Prinzipien zu verwenden und zu beweisen, dass gemischte Spiele ein Gleichgewicht aufweisen (im Wesentlichen lineare Programmierdualität), um untere Grenzen für randomisierte Algorithmen aufzuzeigen (indem stattdessen eine Verteilung über Eingaben in einen deterministischen Algorithmus erstellt wird).

Fixpunktsätze sind allgegenwärtig ...

Ein ziemlich überraschendes Beispiel für Geometrie, die aus dem Nichts auftaucht, ist das effektive Vergleichsergebnis. Berücksichtigen Sie hier bei einer über eine Menge von Elementen definierten Teilreihenfolge die Menge der Permutationen der Objekte, die mit der angegebenen Teilreihenfolge kompatibel sind. Die Frage ist, den effektivsten Vergleich auszuwählen, der als nächstes ansteht. Das heißt, welcher Vergleich würde die Anzahl der Permutationen verringern, die mit der neuen Teilordnung kompatibel sind (je nach Ergebnis dieses einzelnen Vergleichs gibt es natürlich zwei mögliche Teilordnungen). Es ist bekannt, dass es immer einen Vergleich gibt, der die Anzahl der Permutationen um einen konstanten Faktor verringert (Sie können also in sortierenO ( log n ! $n$$O(\log n!)$Vergleiche, duh). Der Beweis hierfür erfolgt über die Geometrie hochdimensionaler Polytope. Insbesondere verwendet der Beweis die Brunn-Minkowski-Ungleichung. Eine gute Darstellung davon findet sich in Matouseks Buch über Vorlesungen über diskrete Geometrie (Abschnitt 12.3). Der ursprüngliche Beweis ist von Kahn und Linial, von hier .

In der theoretischen Informatik gibt es eine Vielzahl von Anwendungen der Informationstheorie : zB den Nachweis von Untergrenzen für lokal decodierbare Codes (siehe Katz und Trevisan), den Beweis von Raz für das Theorem der parallelen Wiederholung in Bezug auf die Kommunikationskomplexität (siehe z. B. den Thread) von Arbeiten zur Komprimierung der Kommunikation, zB die relativ junge Arbeit von Barak, Braverman, Chen und Rao und die dortigen Referenzen) und so viel mehr.

Alon und Naor haben die Ungleichung von Grothendieck verwendet, um einen Approximationsalgorithmus für das Max-Cut-Problem zu beweisen . Ich denke, dass es weitere Arbeiten zu diesem Thema gibt, aber ich bin kein Experte.

Interessanterweise verwendeten Cleve, Hoyer, Toner und Watrous dasselbe Theorem für die Analyse von Quanten-XOR-Spielen, und Linial und Shraibman verwendeten es für die Komplexität der Quantenkommunikation. Meines Wissens nach entdeckte Tsirelson 85 den Zusammenhang zwischen der Grothendieckschen Ungleichung und dem Fundament der Quantenphysik, aber die beiden Ergebnisse, die ich erwähnte, befassen sich speziell mit der Informatik.

Ein gutes Beispiel ist der Satz von Barrington:

$f$$d$$f$$4^d$

$S_5$

Schamloser Pfropfen: Verwendung der isotropen Vermutung (und der konvexen Geometrie im Allgemeinen) bei der Entwicklung von annähernd optimalen differentiell privaten Mechanismen für lineare Abfragen in meiner Arbeit mit Moritz Hardt .

Um Sureshs Frage oben teilweise zu beantworten, halte ich die ursprüngliche Frage für etwas knifflig, da sie "in der Informatik normalerweise nicht als zutreffend angesehen wird". Einige dieser Techniken, die ursprünglich "unabhängig" zu sein scheinen, werden mit der Zeit "normal". Die erfolgreichsten dieser Techniken (zB Fourier-Analyse in Kahn-Kalai-Linial, metrische Einbettungen in Linial-London-Rabinovich) sind also keine gültigen Antworten mehr.

Additive Kombinatorik / Zahlentheorie wurde viel in der Extraktorliteratur verwendet. Ich denke, die ersten Beispiele stammen aus der Feststellung, dass Paley-Graphen als gute Extraktoren verwendet werden könnten, und einige offene Fragen in der Theorie der additiven Zahlen würden bessere implizieren. Die früheste mir bekannte Referenz ist Zuckerman 1990 (siehe seine These ), aber in den letzten Jahren war dies ein aktiver Bereich mit interessanten Hin- und Herbewegungen zwischen TCS und additiver Kombinatorik. (Einer der Höhepunkte ist Dvirs Beweis der endlichen Feld-Kakeya-Vermutung, aber dies ist natürlich ein TCS-Beitrag zur Mathematik und nicht umgekehrt.) A priori ist nicht klar, warum diese Art von mathematischen Fragen zu Summen und Produkten von Sätzen, wäre wichtig für CS.

Sleator, Tarjan und Thurston haben die Existenz einer unendlichen Familie von Paaren von binären Suchbäumen mit nEckpunkten und Rotationsabstand unter 2n-6Verwendung hyperbolischer Geometrie bewiesen .

$o(k^2)$

$k^2$

Lineare Algebra zum Parsen von Graphen:

Joshua D. Batson, Nikhil Srivastava, Daniel A. Spielman: Zwei-Ramanujan-Sparsifier. STOC 2009: 255-262.

Dies mag zählen oder auch nicht, aber kürzlich wurden Zermelo-Fraenkel-Mengen-Theorien (ZFA) und Fraenkel-Mostowski-Mengen-Theorien (FM) auf das Studium der abstrakten Syntax mit Namensbindung angewendet. ZFA wurde zu Beginn des 20. Jahrhunderts eingeführt, um die Unabhängigkeit von CH zu beweisen, und dann vergessen, aber in den späten 1990er Jahren von zwei Informatikern - Gabbay und Pitts - wiederentdeckt, die sich mit etwas völlig Unverbundenem befassten.

Siehe zum Beispiel dieses Umfragepapier.

Kahn und Kims Anwendung der Graphentropie auf das Sortieren unter Teilinformationen (http://portal.acm.org/citation.cfm?id=129731). Sie gaben den ersten polynomialen Zeitalgorithmus an, der die theoretisch optimale (bis zu Konstanten) Anzahl von Vergleichen durchführt. Die Arbeit ist eine kleine Exkursion in die Mathematik, bei der einige klassische kombinatorische Argumente zusammen mit konvexer Geometrie, Graphentropie und konvexer Programmierung verwendet werden. Es gibt einen neueren, einfacheren Algorithmus, aber wir wissen immer noch, wie man ihn ohne Graphentropie analysiert.

Die Zahlentheorie wurde verwendet, um RSA und andere kryptografische Schemata mit öffentlichem Schlüssel zu entwickeln.

Die Entdeckung der Karatsuba-Vermehrung war überraschend.