Variationen von SAT

Ich habe im Internet nachgeschlagen, aber ich konnte keine "große Liste" von Varianten des SAT-Problems finden.

Abgesehen von den (gemeinsamen)

• SAT,
• k-SAT,
• MAX-kSAT,
• Halb-SAT,
• XOR-SAT,
• NAE-SAT

Welche weiteren Varianten gibt es?

(Auch ist es sehr nützlich, wenn dort Komplexitätsklassen angegeben werden (wo möglich))

(Kommentieren Sie eine Antwort wie gewünscht und erweitern Sie sie ein wenig.)

"Ein neugieriger Geist" sollte Schäfers Dichotomiesatz und die Verallgemeinerung von Allender et al. das zeigt, dass jede mögliche SAT-Variante entweder trivial oder in einer von sechs bekannten Komplexitätsklassen ist:

1. NP-vollständig
2. P-vollständig
3. NL-komplett
4. L-komplett
5. ⊕L-vollständig
6. Co-NLOGTIME

Diese Liste wird sehr lang sein;) Hier sind einige meiner bevorzugten (NP-vollständigen) Varianten von SAT:

• PLANAR ( $\le 3, 3$

  Siehe: Dahlhaus, Johnson, Papadimitriou, Seymour, Yannakakis, Die Komplexität von Schnitten mit mehreren Anschlüssen, SIAM Journal of Computing 23 (1994) 864-894

• 4-BOUNDED PLANAR 3-CONNECTED 3SAT (jede Klausel enthält genau 3 verschiedene Variablen, jede Variable erscheint in höchstens 4 Klauseln, der Bipatit-Incident-Graph ist planar und 3-verbunden)

  Siehe: Kratochvíl, Ein spezielles planares Erfüllbarkeitsproblem und eine Folge seiner NP-Vollständigkeit, Discrete Applied Math. 52 (1994) 233 & ndash; 252

• MONOTONE CUBIC 1-IN-3SAT (MONOTONE-1-IN-3SAT, in dem jede Variable genau dreimal vorkommt)

  Siehe: Moore und Robsen, Problem mit harten Fliesen mit einfachen Fliesen, Discrete Compute. Geom. 26 (2001) 573-590

• Finde ich sehr interessant , dass PLANAR-NAE- SAT für jeden in P $k$$k$ .

  Siehe diesen Beitrag .

Auf der "NP-vollständigen Seite" bin ich auf diese Varianten gestoßen (eine ähnliche Frage habe ich auch bei cs.stackexchange gestellt):

• Planares 3-SAT;
• Planares 1-in-3-SAT und positives Planares 1-in-3-SAT (siehe Mulzer und Rote );
• NAE 3-SAT;
• 2/2/4-SAT (siehe Die Suche nach einer kürzesten Lösung für die NxN-Erweiterung des 15-Puzzles ist für D. Ratner und M. Warmuth (1986) unlösbar.) );
• XSAT, NAE-SAT für lineare monotone Formeln, XSAT für exakte lineare Formeln (siehe die schöne Arbeit von Ewald Speckenmeyer zu linearen XSAT-Problemen: Rechenkomplexität von SAT, XSAT und NAE-SAT für lineare und gemischte Horn-CNF-Formeln );
• k-farbiger monotoner NAE-3SAT (siehe P Jain, Über eine Variante des monotonen NAE-3SAT und das Triangle-Free-Cut-Problem, 2010 ).

$\mathrm{SAT}(k)$$\mathrm{SAT}$$k$$\mathrm{SAT}(2)$$\mathsf{L}$$\mathrm{SAT}(k)$$k\geq 3$

Neben der obigen Liste gibt es auch:

• #SAT: Modellzählung
• All-SAT: Modellaufzählung

Es gibt eine sehr klassische Verbindung zwischen Logik und Algebra, die auf den Ursprung der modernen Logik und die Arbeit von George Boole zurückgeht. Eine Formel in der Aussagenlogik kann als Element einer Booleschen Algebra interpretiert werden. Die logischen Konstanten wahr und falsch werden zu den algebraischen Begriffen des oberen und unteren Elements eines Gitters. Die logischen Operationen von Konjunktion, Disjunktion und Negation werden zu den algebraischen Operationen von Treffen, Verbinden und Komplementieren in der Booleschen Algebra. Dieser Zusammenhang wird in der modernen Behandlung der Logik weniger betont, ist aber im Zusammenhang mit Ihrer Frage besonders interessant. Mit der Algebra können wir uns von vielen problemspezifischen Details entfernen und Verallgemeinerungen eines Problems finden, die auf viele verschiedene Situationen zutreffen.

Im speziellen Fall von SAT ist die algebraische Frage, was passiert, wenn wir Formeln in allgemeineren Gittern als Booleschen Algebren interpretieren. Auf der logischen Seite können Sie das Erfüllbarkeitsproblem von Aussagenlogik auf intuitionistische Logik verallgemeinern. Allgemeiner können Sie das Problem der Aussagenerfüllbarkeit dahingehend verallgemeinern, dass bestimmt wird, ob eine Formel, wenn sie über ein begrenztes Gitter (eine mit oben und unten) interpretiert wird, das untere Element des Gitters definiert. Mit dieser Verallgemeinerung können Sie Probleme in der Programmanalyse als Erfüllbarkeitsprobleme behandeln.

Eine andere Verallgemeinerung ist die quantifiziererfreie Logik erster Ordnung, bei der die Frage nach dem Erfüllbarkeitsmodul einer Theorie gestellt wird. Das heißt, Sie haben nicht nur boolesche Variablen, sondern auch Variablen erster Ordnung und Funktionssymbole und möchten wissen, ob eine Formel erfüllt werden kann. An dieser Stelle können Sie Fragen zu Formeln in der Arithmetik, zu Stringtheorien oder zu Arrays usw. stellen. So erhalten wir eine strenge und sehr nützliche Verallgemeinerung von SAT, die viele Anwendungen in den Bereichen Systeme, Computersicherheit, Programmiersprachen, Programmüberprüfung und Planung bietet , künstliche Intelligenz usw.