Ein einfaches Problem, dessen Entscheidbarkeit nicht bekannt ist


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Ich bereite mich auf einen Vortrag vor, der sich an Bachelor-Mathematiker richtet, und als Teil davon denke ich darüber nach, das Konzept der Entscheidbarkeit zu diskutieren. Ich möchte ein Beispiel für ein Problem geben, von dem wir derzeit nicht wissen, dass es entscheidbar oder unentscheidbar ist. Es gibt viele solche Probleme, aber keines scheint bisher als gutes Beispiel hervorzuheben.

Was ist ein einfach zu beschreibendes Problem, dessen Entscheidbarkeit offen ist?


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Das Collatz-Problem ist ein einfach zu beschreibendes Problem, dessen Entscheidbarkeit offen ist. Eine Verallgemeinerung des Collatz-Problems erwies sich als unentscheidbar. math.mit.edu/~poonen/papers/sampler.pdf mathworld.wolfram.com/CollatzProblem.html
Mohammad Al-Turkistany

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Vielleicht können Sie auch diesen "Trick" zeigen: Schreiben Sie ein kleines Programm (Sie können es "goldbach" nennen), das die geraden Zahlen durchläuft und überprüft, ob für einige Primzahlen und stoppt im negativen Fall ... dann sag "Nun, wir wissen nicht, ob das Halteproblem für dieses Programm entscheidbar ist!" :-). Es zeigt die starke Korrelation zwischen zahlentheoretischen Problemen und dem Halteproblem. n i = p j + p k p j , p k < n ini5ni=pj+pkpj,pk<ni
Marzio De Biasi

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Diese scheinen nett zu sein, aber das Konzept der Entscheidbarkeit gilt nicht nur für eine bestimmte Instanz, da in beiden Fällen die Antwort nur ein festes Ja / Nein ist.
Lev Reyzin

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@MarzioDeBiasi, das ist keine "starke Korrelation" zwischen dem Halteproblem und der Zahlentheorie. Jede Vermutung der Form "Frangible Widgets existieren / existieren nicht" kann in ein Programm umgewandelt werden, das anhält, wenn es ein frangibles Widget gibt, solange die Frangibilität entscheidbar ist und Widgets rekursiv aufzählbar sind. Die Existenz eines solchen Programms ist nur die trivialste Verbindung zwischen dem Problem des Stillstands und der Widget-Theorie.
David Richerby

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@DavidRicherby: ziemlich überzeugend :-). Ich habe nur versucht, die (für mich überraschende) Tatsache herauszustellen, dass die Lösung des Halteproblems für ein paar Codebits der Lösung einer langjährigen mathematischen Vermutung entspricht. Also sollte ich "starke Korrelation" durch "schwache Korrelation, aber erstaunlich für mich" ersetzen :-) :-)
Marzio De Biasi

Antworten:


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Das Matrix Mortality Problem für 2x2 Matrizen. Das heißt, wenn eine endliche Liste von 2 × 2 Ganzzahlmatrizen M 1 , ..., M k gegeben ist , können die M i in einer beliebigen Reihenfolge (mit beliebig vielen Wiederholungen) multipliziert werden, um die All-0-Matrix zu erzeugen?

(Der 3x3-Fall ist bekanntermaßen unentscheidbar. Der 1x1-Fall ist natürlich entscheidbar.)


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epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/1.9781611974782.12 Igor Potapov und Pavel Semukhin haben kürzlich gezeigt, dass dies entscheidend ist.
Chao Xu

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@ChaoXu: Dieses Papier scheint nur für nicht singuläre Matrizen zu sein.

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@ RickyDemer Du hast recht, mein Fehler.
Chao Xu

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UPDATE: Das hier erwähnte Problem ist jetzt als unentscheidbar bekannt! http://arxiv.org/abs/1605.05274 Darüber hinaus wurde das Papier durch das Lesen dieser Antwort inspiriert. :)


Programmierer in Ihrem Fachpublikum werden überrascht sein, dass die Frage "Ist dieser Typ implizit auf diesen Typ konvertierbar?" Es ist nicht bekannt, dass Java 5, C # 4 und Scala 2 entscheidbar sind.

Weitere Einzelheiten finden Sie in Andrew Kennedys und Benjamin Pierces Aufsatz "Über die Entscheidbarkeit der nominalen Subtypisierung mit Varianz" . Der Aufsatz enthält einige Beispiele für zusätzliche Einschränkungen der Typsysteme dieser Sprachen, unter denen die nominelle Untertypisierung als entscheidbar oder als unentscheidbar bekannt wird.

Interessanterweise wurde das Papier lange vor dem Hinzufügen von generischer Kovarianz und Kontravarianz zu C # geschrieben, aber die Autoren haben die Richtung, in die sich die Sprache bewegte, richtig vorausgesehen. (Dies ist nicht überraschend. Die Autoren haben die zugrunde liegende Unterstützung für die Varianz in der CLR entworfen, die ich beim Hinzufügen von Varianz zu C # ausgenutzt habe. Sie haben das schwere Heben ausgeführt.)


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@vzn: Der Microsoft C # -Compiler kann in eine unbegrenzte Rekursion versetzt werden. Siehe meinen Artikel zum Thema: blogs.msdn.com/b/ericlippert/archive/2008/05/07/…
Eric Lippert

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@vzn: Es gibt Möglichkeiten, wie sich der Java-Compiler auch schlecht verhält, aber ich kenne die Details nicht.
Eric Lippert

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@vzn Scalas Schriftsprache ist Turing vollständig, und daher kann Scalas Typprüfprogramm eine Schleife ausführen. Einzelheiten finden Sie hier . Gleiches gilt für Haskell . Ich kenne C # und Java nur unzureichend, um zu wissen, ob man ihre jeweiligen Typprüfer zum Schleifen bringen kann.
Martin Berger

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@vzn: Dies könnte Sie auch interessieren: Eine Überlastungsauflösung in C # 3 ist mindestens NP-HARD, da Sie den Compiler zwingen können, beliebige SAT-Probleme zu lösen: blogs.msdn.com/b/ericlippert/archive/2007/03 / 28 /…
Eric Lippert

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@vzn: Schließlich die Frage "ist das etwas akademisch?" wird natürlich mit ja beantwortet. Die Frage "Ist blah als entscheidbar bekannt?" ist von Natur aus eine akademische Frage. Diese Fälle treten in realistischem Code für Geschäftsbereiche nicht auf. Die Bedeutung dieser Frage aus technischer Sicht liegt in der Sicherheit . Kann ein feindlicher Dritter Code bereitstellen, bei dem die Analyse vor der Ausführung selbst zu Fehlverhalten führen kann? Das ist die Situation im Internet, in der feindliche Dritte JavaScript an Ihren Browser senden.
Eric Lippert

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Hilberts zehntes Problem über Rationalitäten: "Hat diese Polynomgleichung eine rationale Lösung?"


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Danke - haben Sie einen Link zu einem Ort, der besagt, dass er offen ist?
Lev Reyzin

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Siehe www-math.mit.edu/~poonen/papers/subrings.pdf (zweiter Absatz). Es gibt auch einen Expository-Artikel unter www-math.mit.edu/~poonen/papers/aws2003.pdf
Boris Bukh

Es wäre auch hilfreich, eine Skizze / Umrissbeschreibung zu sehen, warum dieses Problem nicht dem 10. Hilberts-Problem entspricht und der gleiche Beweis nicht zutrifft.
VZN

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vzn: Gleichungen über Rationalen können als Sonderfall von Gleichungen über Ganzzahlen betrachtet werden (durch Multiplizieren, um die Nenner zu löschen). Die Frage ist also, ob dieser Sonderfall von Hilberts 10. Problem bereits unentscheidbar ist. Die durch die vorhandenen Beweise erzeugten diophantinischen Gleichungen haben nicht die erforderliche spezielle Form.
Scott Aaronson

1
@vzn Ein subtiler Grund ist, dass die meisten (vielleicht alle) Beweisstrategien gegen Mazurs Vermutung verstoßen würden. Weitere Informationen finden Sie auf Seite 1 des ersten Links von Boris Bukh.
David E Speyer


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Ein einfaches Problem, dessen Entscheidbarkeit unbekannt ist, ist das folgende (ich denke, es ist noch offen):

Unendliches Schach :

Eingabe : Eine endliche Liste von Schachfiguren und deren Startpositionen auf einem Schachbrett; Frage : Kann sich White Force paaren?Z×Z

Wenn wir die Bedingung hinzufügen, dass Weiß sich in Zügen paaren muss ( ist Teil der Eingabe), wird es entscheidbar: siehe Dan Brumleve, Joel David Hamkins und Philipp Schlicht, Das Paar-in-n-Problem des unendlichen Schachs ist entscheidbar .nnn


Ein weiteres einfaches Problem ist das Verhalten von Langtons Ameise bei endlicher Erstkonfiguration.

Langtons Ameisenverhalten mit endlicher Unterstützung :

Quadrate in einer Ebene sind unterschiedlich schwarz oder weiß gefärbt. Wir identifizieren willkürlich ein Quadrat als "Ameise". Die Ameise kann sich bei jedem Schritt in eine der vier Hauptrichtungen bewegen. Die Ameise bewegt sich nach folgenden Regeln:

  • Drehe an einem weißen Quadrat um 90 ° nach rechts, drehe die Farbe des Quadrats um und gehe eine Einheit vorwärts
  • Drehe dich an einem schwarzen Quadrat um 90 ° nach links, drehe die Farbe des Quadrats um und gehe eine Einheit vorwärts

Eingabe : eine endliche Konfiguration (schwarz / weiß) der Ebene und der Ameisenposition;
Frage : Beendet die Ameise immer wieder den Bau einer unendlichen "Autobahn"?

Bildbeschreibung hier eingeben

Für unendliche Unterstützung ist das Problem nicht zu entscheiden, siehe: A. Gajardo, A. Moreira und E. Goles, Komplexität von Langtons Ameise


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Das Collatz-Problem ist ein einfach zu beschreibendes Problem, dessen Entscheidbarkeit offen ist. Es handelt sich um eine einfache Wiederholung elementarer arithmetischer Operationen.

n / 2 3 n + 1f(n)={ n/2 für gerade Ganzzahl, für ungerade Ganzzahl3n+1

Das Problem besteht darin, zu entscheiden, ob die Iteration dieser Funktion für eine bestimmte positive ganze Zahl immer auf 1 zurückkehrt .n0

Interessanterweise erwies sich eine Verallgemeinerung des Collatz-Problems als unentscheidbar.

Verweise:

1- UNBEKANNTE PROBLEME: EIN SAMPLER , BJORN POONEN

2- Weisstein, Eric W. "Collatz Problem." Aus MathWorld - Eine Wolfram-Webressource.

3- Das 3X + 1-Problem: Ein Überblick , Jeffrey C. Lagarias


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Genau genommen lautet die Antwort auf Ihre spezielle Frage einfach "Ja" oder "Nein", sodass sie nicht unentscheidbar sein kann. Auf der anderen Seite ist es möglicherweise nicht zu entscheiden, ob es sich bei einer bestimmten Nummer um eine Collatz-Nummer handelt.
Lev Reyzin

@ LevReyzin Danke. Bearbeitet, um das Problem zu beheben.
Mohammad Al-Turkistany

Ich bin froh, dass diese Antwort jetzt enthalten ist und schlage vor, dass alle anderen Probleme der offenen Zahlentheorie ähnlich formuliert werden können wie in anderen Kommentaren / Antworten und denke, dass diese fundamentale Verbindung in der Nähe eines entscheidenden Brückentheorems liegt, das von theoretischen Gemeinschaften nicht erforscht wurde.
vzn

Studie der Collatz-Vermutung aus einem eher TCS / empirischen Blickwinkel mit vielen Referenzen hier (z. B. über FSM-
Wandlerrekursion


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Die Entscheidbarkeit der Conjunctive Query Containment ist seit über zwanzig Jahren offen. Die Lösung dieses Problems wäre ein Durchbruch in der Datenbanktheorie.

Q1Q2Q1IQ2I

In konjunktiven Abfragen werden existenziell quantifizierte Prädikate mit AND verknüpft. In SQL-Begriffen handelt es sich bei konjunktiven Abfragen um SELECT-FROM-WHERE-Abfragen, die "=" und "AND" verwenden, jedoch keine Unterabfragen oder Aggregationen. Dies ist möglicherweise die häufigste Art von Datenbankabfragen und umfasst die meisten Suchmaschinenabfragen.

IQ1Q2

(N,+,×)(N,+,×)

Hinweise auf die umfangreiche Literatur und eine strenge Behandlung finden Sie in einem ToDS-Papier (in der Presse) von einigen Personen.

QRQQ AND RQ



1
@MartinBerger: Die ToDS-Version enthält den oben genannten NP-Härte-Nachweis, verfügt über vollständige Nachweise und ist offen zugänglich (obwohl das Material über Gewerkschaften von CQs aus Platzgründen weggelassen wird). dx.doi.org/10.1145/2556524
András Salamon

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Korrespondenzproblem der Post mit einer festen Anzahl von Kacheln zwischen 3 und 6.

Es ist nicht wirklich einfach zu beschreiben, hat aber eine sehr "spielerische" Beschreibung und eignet sich meiner Meinung nach für Gespräche auf Intuitionsebene.


13

Das verallgemeinerte Problem der Sternhöhe: "Wie viele Nistplätze von Kleene-Sternen muss ich haben, um diese reguläre Sprache mit einem regulären Ausdruck zu repräsentieren, der eine Ergänzung zulässt?"

Wir wissen nicht einmal, ob der Algorithmus, der immer 1 zurückgibt (außer 0 für sternlose Sprachen, was ein entscheidbarer Fall ist), korrekt ist.


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Ein Problem aus der Automatentheorie.

D

xDxxL(D)Primes

Kommentar: Ich habe dieses Problem ursprünglich aus einer Stapelaustausch-Antwort von Jeffrey Shallit gehört. Wenn Sie Hinweise darauf kennen, lassen Sie es mich bitte wissen. Danke!

Zusammenhängende Posts:

(1) Gibt es noch offene Probleme mit DFAs?

(2) https://cs.stackexchange.com/questions/48084/determining-if-infinite-binary-language-dfas-contain-at-least-1-prime

Verwandte Arbeiten: https://cs.uwaterloo.ca/~shallit/Papers/br10.pdf

"Minimale Elemente für die Primzahlen" von C. Bright, R. Devillers und J. Shallit


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Iterierte Karten zum Intervall (Beschreibung von hier ):

(sehr verwandt mit dem von Magnus Find vorgeschlagenen Problem)

FxxxF(x)F(F(x))FxF

Fxyxy

F

FxyxF

Ein Hinweis: Asarin 2011 .


2

Es scheint einen ziemlich natürlichen Weg / Winkel zu geben, um diese Frage zu untersuchen, der in mindestens 3 Arbeiten wie folgt verwendet wird.

TM(k,l)klk,lk,l

Die Ergebnisse können wie in einigen der folgenden Verweise in einem Raster angezeigt werden. auch im Zwischenbereich ist bekannt, dass einige (ungelöste) Maschinen in der Lage sind, die Collatz-Vermutung für einige Eingaben zu simulieren.

daher gibt es hier eindeutig "Übergangspunkt" -ähnliche Phänomene, die jedoch nicht innerhalb einer berechenbaren Region ablaufen, sondern in einem ungewöhnlichen Sinne zwischen berechenbar und nicht berechenbar.


ps Das De Mol-Referenz-PDF konnte zum Zeitpunkt des Schreibens von arxiv nicht heruntergeladen werden. Es hängt
vzn


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Es gibt einen ziemlich natürlichen Weg, die meisten offenen Probleme auf Fragen der (Un-) Entscheidbarkeit abzubilden. Die meisten offenen Probleme sind im Allgemeinen nicht nachweisbar oder unbeweisbar.

Im Internet gibt es einige informelle Verwirrung über die Unentscheidbarkeit des P-gegen-NP- Problems, die nicht unbedingt ein Entscheidungsproblem darstellt. Daher ist es technisch nicht korrekt, über seine Unentscheidbarkeit zu sprechen. Andererseits scheint es einen engen / natürlichen Zusammenhang zwischen Unentscheidbarkeit und Beweisbarkeit zu geben.

zum Beispiel betrachten

LxO(nx)

ist diese sprache entscheidbar Das ist eine Frage zu einer Sprache mit offener Entscheidbarkeit, die im Grunde eng mit dem P-gegen-NP-Problem und seiner inhärenten (Un-?) Beweisbarkeit verbunden (sogar, praktisch identisch) ist.

Für P vs NP als "einfach zu beschreiben" sind nur Konzepte von TMs , Big O-Laufzeitnotation und Nichtdeterminismus erforderlich , die relativ einfach sind (einige der grundlegendsten Konzepte von TCS) und auf der Ebene der Studenten unterrichtet werden oder die begabt sind Schüler konnte verstehen.

Tatsächlich ist NP vs P / Poly auch offen und kann auf die gleiche Weise auf eine offene Frage zur Entscheidbarkeit abgebildet werden, und dies kann als ein ziemlich einfaches Problem hinsichtlich des Wachstums von minimalen (monotonen?) Schaltkreisen zur Erkennung von NP complete angegeben werden Probleme (zB Cliquen).


3
LxL=xΘ(nx)LL


2
zu sagen, dass eine ganze Zahl nicht berechenbar ist, ist Unsinn. und ich glaube nicht, dass das prinzip der ausgeschlossenen mitte davon abhängt, ob die aussage beweisbar ist.
Sasho Nikolov

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entweder korrigiere deine Antwort oder hinterlasse keine Kommentare mehr. Ich habe diese Fragen gesehen, aber wenn Sie nicht in der Lage sind, sie oder die ihnen gegebenen Antworten zu verwenden, um Ihr eigenes komplettes Durcheinander einer Antwort zu beheben, oder, schlimmer noch, wenn Sie nicht wollen, sollten Sie vielleicht eine andere Community durchforsten.
Sasho Nikolov

5
Auf den Punkt gebracht, ist das Problem in Ihrer Antwort trivial zu entscheiden, unabhängig von der Lösung oder der formalen Unabhängigkeit des P vs NP-Problems von ZFC. Außerdem ist das Schaffen von Problemen, die je nach der Wahrheit einer berühmten Vermutung möglicherweise unentscheidbar oder trivial entscheidbar sind, nichts weiter als eine nette Übung (an der Sie bisher völlig scheitern) und zeigt in den meisten Fällen nichts über die eigentliche Schwierigkeit einer Vermutung .
Sasho Nikolov
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