Härte von verrauschten Booleschen Funktionen

Sei $f$ eine Boolesche Funktion von $n$ Booleschen Variablen. Lassen $g(x)=T_\epsilon (f) (x)$ ist der Erwartungswert von $f(y)$ , wenn $y$ gewonnen wird aus $x$ durch jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von Koordinaten Flipping $\epsilon/2$ .

Ich interessiere mich für Fälle, in denen es rechnerisch schwierig ist, $g$ . Lassen Sie mich einen Begriff der "Annäherung" festlegen (es kann aber auch andere geben): Eine Boolesche Funktion $h$ approximiert $g$ wenn $h(x)=1$ wenn $g(x)\ge 0.9$ und $h(x)=0$ wenn $g(x)\le 0.1$Ein Zählargument (basierend auf der Existenz positiver Ratenfehlerkorrekturcodes) scheint zu ergeben, dass es Boolesche Funktionen gibt, für die eine solche Approximation eine Schaltung mit exponentieller Größe erfordert. Aber die Frage ist, was passiert, wenn zunächst in NP oder in seiner Nachbarschaft liegt.$f$

Q1: Gibt es ein Beispiel für das durch die NP-Schaltung (oder den P-Raum) beschrieben wird, so dass jedes h NP-hart oder in einem schwächeren Sinne hart ist.$f$$h$

Um zu sehen , dass nicht immer einfach sein könnte (I Johan Hastad für nützliche Diskussion darüber danken) wir die Eigenschaft der Graphen der mit einer Clique der Größe betrachten kann n 1 / 4 , für zufällige Eingabe, ist es denkbar , dass es schwierig ist , zu Ermitteln Sie, ob eine große Clique vorhanden ist. Dies äußert sich jedoch darin, dass mehr als erwartete Cliquen mit der Größe log n im verrauschten Diagramm vorhanden sind. In diesem Fall ist jedes h wahrscheinlich schwer (aber nicht nachweisbar und nicht fürchterlich schwer, da quasi-polynomiale Schaltungen aussagen).$h$$n^{1/4}$$h$

F2: Wie ist die Situation, wenn zunächst eine geringe Komplexität aufweist. ( A C 0 , monotone T C 0 , A C C usw.)$f$$AC^0$$TC^0$$ACC$

F3: Wie sieht es mit einigen grundlegenden Beispielen für Boolesche Funktionen aus? (Die Frage kann auch auf die reelle Funktion ausgedehnt werden.)

F4: Kann die obige Frage formal für das einheitliche (Turing-Maschine) Berechnungsmodell gestellt werden?

Update: In Anbetracht von Andys Antwort (Hallo, Andy) denke ich, dass die interessanteste Frage darin besteht, die Situation für verschiedene spezifische Funktionen zu verstehen.

Update Another question Q5 [Q1 für monotone Funktionen] (auch im Hinblick auf Andys Antwort). Wie ist die Situation, wenn monoton ist? Können wir noch robuste NP-Komplettfragen codieren>$f$

Für Frage 1 lautet die Antwort Ja und kann wie folgt angezeigt werden. (Ich werde auch implizit eine positive Antwort auf Q4 skizzieren, da das Argument einheitlich ist und alle Eingabelängen gleichzeitig behandelt.)

Korrigieren Sie jede NP-vollständige Sprache und eine Familie guter binärer Fehlerkorrekturcodes (mit einer Rate von 1/4 und einer Korrektur aus einem Bruchteil von Fehlern, sagen wir). Es sei E n c n : { 0 , 1 } n → { 0 , 1 } 4 n die Codierungsfunktion für die Länge n ; Wir verwenden einen solchen Code, bei dem E n c = { E n c n } durch einen Algorithmus mit einheitlicher Polynomzeit berechenbar ist.$L$$Enc_n: \{0, 1\}^n \rightarrow \{0, 1\}^{4n}$$n$$Enc = \{Enc_n\}$

Definieren Sie als die Menge der Zeichenfolgen z , die sich höchstens in der Entfernung von .05 | befinden z | aus einem Codewort y ∈ E n c ( L ), das ein Element von L codiert . Es ist zu beachten, dass L ' in NP ist, wie Sie das nahegelegene Codewort, das decodierte Wort und das NP-Zertifikat für die Zugehörigkeit des decodierten Wortes in L erraten und überprüfen können . $L'$$z$$.05 |z|$$y \in Enc(L)$$L$$L'$$L$

Dann lautet die Behauptung, dass jede "Annäherung" von in Ihrem Sinne NP-hart für ε = .01 ist . Wenn wir ein gültiges Codewort y = E n c ( x ) mit einer Länge von 4 n betrachten , dann wird es mit der Wahrscheinlichkeit 1 - o ( 1 ) über eine zufällige ε- gestörte Version y ' von y höchstens mit y in nicht übereinstimmen a .05 Bruchteil von Koordinaten und wird daher mit keinem anderen Codewort von E n c übereinstimmen$L'$$\varepsilon = .01$$y = Enc(x)$$4n$$1 - o(1)$$\varepsilon$$y'$$y$$y$ in einemBruchteil vonmehr als 0,05 von Koordinaten. Für ein solches y 'haben wir y ' ∈ L ', wenn x ∈ L ist . Wenn also h in Ihrem Sinneeine Annäherung an die ε- geglättete Version von L ′ ist , müssen wir h ( y ) = L ( x ) haben . Da E n c effizient berechenbar ist, können wir die Mitgliedschaftsfragen für L effizientauf diejenigen für h reduzieren. So$Enc_n$$.05$$y'$$y' \in L'$$x \in L$$h$$\varepsilon$$L'$$h(y) = L(x)$$Enc$$L$$h$ ist NP-hart.$h$

Zwei Notizen:

(1) Fehlerkorrekturkodierungen von NP-Instanzen wurden bereits in mehreren Veröffentlichungen verwendet, insbesondere in
D. Sivakumar: Über Mitglieder-Vergleichssätze. J. Comput. Syst. Sci. 59 (2): 270 & ndash; 280 (1999).

(2) Das obige Argument sagt natürlich nichts über die Durchschnittskomplexität eines NP-Problems aus, da die Fehlerkorrektur von Fall zu Fall angewendet wird.