Wie schwer ist das Set Cover-Problem, wenn die Anzahl der Elemente durch eine Funktion (z. B. ) begrenzt ist, wobei die Größe der Probleminstanz ist. Formal,
Sei und wobei und . Wie schwer ist es, das folgende Problem zu entscheiden?
Was ist, wenn ?
Jedes Ergebnis, das auf bekannten Vermutungen basiert (z. B. Unique Games, ETH), ist gut.
Bearbeiten 1: Eine Motivation für dieses Problem besteht darin, herauszufinden, wann das Problem mit zunehmendem schwierig wird. Das Problem liegt eindeutig in P, wenn und NP-hart, wenn . Was ist die Schwelle für die NP-Härte des Problems?
Edit 2: Es gibt einen trivialen Algorithmus, um ihn in der Zeit zu bestimmen (der alle Teilmengen der Größe von ). Daher ist das Problem nicht NP-hart, wenn da die ETH impliziert, dass es in der Zeit keinen Algorithmus für NP-hart gibt Problem (wobei die Größe des NP-harten Problems ist).