Ich bin auf eine verwirrende Meinungsverschiedenheit zwischen Agda und Coq gestoßen, die offensichtlich nicht mit den bekanntesten Unterscheidungen zwischen ihren Typentheorien zusammenhängt (z. B. (Im-) Prädikativität, Induktionsrekursion usw.).
Insbesondere wird die folgende Definition von Agda akzeptiert:
data Ty : Set0 -> Set0 where
c1 : Ty ℕ
c2 : Ty (Ty ℕ)
wohingegen die äquivalente Coq-Definition verworfen wird, weil das Erscheinen von [Ty_] als Index von sich selbst in c2 als Verstoß gegen die strikte Positivität angesehen wird.
Inductive Ty : Set -> Set :=
| c1 : Ty nat
| c2 : Ty (Ty nat).
In der Tat ist dieser Fall fast wörtlich ein Beispiel aus Coq'Art Abschnitt 14.1.2.1 für die Verletzung strikter Positivität:
Inductive T : Set -> Set := c : (T (T nat)).
Aber ich sehe keine Gründe für diesen Unterschied zwischen den Typentheorien. Das klassische Beispiel, Falsch zu beweisen, indem ein negatives Vorkommen eines Typs in einem Konstruktorargument verwendet wird, ist für mich klar, aber ich kann nicht sehen, wie man aus diesem Indexierungsstil einen Widerspruch ableiten kann (unabhängig von ansonsten ausschließlich positiven Konstruktorargumenten).
In Dybjers Artikel über frühe induktive Familien wird die Lösung von Paulin-Mohring im CID-Artikel mit geringfügig unterschiedlichen Einschränkungen aus der Literatur heraus kommentiert, und es wird vage vermutet, dass die Unterschiede im Zusammenhang mit Impredikativität stehen könnten, sie werden jedoch nicht weiter ausgeführt. Dybjers Papier scheint dies zuzulassen, während Paulin-Mohrings es eindeutig verbietet.
Anscheinend bin ich nicht der erste, der diese Meinungsverschiedenheit bemerkt, und einige glauben, dass diese Definition in beiden Systemen nicht zulässig sein sollte ( https://lists.chalmers.se/pipermail/agda/2012/004249.html ), aber Ich habe keine Erklärung dafür gefunden, warum es entweder in einem System klingt, aber nicht in dem anderen, oder nur eine Meinungsverschiedenheit.
Ich habe also vermutlich mehrere Fragen:
- Ist dies ein Beispiel für einen monotonen, aber nicht streng positiven Typ? (In Coq; eindeutig hält Agda es für streng positiv)
- Warum erlaubt Agda dies, während Coq es ablehnt? Es ist einfach ein eigenwilliger Unterschied in der Interpretation von "streng positiv". Gibt es einen subtilen Unterschied zwischen Coq und Agda, der es in Agda klingen lässt und in Coq nicht klingt, oder ist es eine Geschmackssache, die von bestimmten theoretischen Vorlieben bestimmt wird?
- Gibt es einen signifikanten Unterschied zwischen der obigen ersten Definition und der äquivalenten induktiv-rekursiven Definition?
Induktiv-rekursive Definition:
mutual
data U : Set0 -> Set0 where
c : (i : Fin 2) -> U (T i)
T : Fin 2 -> Set0
T zero = ℕ
T (suc zero) = U ℕ
Ich freue mich über Hinweise auf relevante Literatur.
Danke im Voraus.
Ty is not strictly positive, because it occurs in an index of the target type of the constructor c2 in the definition of Ty.