Zur Beweisbarkeit von P gegen NP

Erstens ist mein Verständnis des Unvollständigkeitssatzes von Gödel (und der formalen Logik im Allgemeinen) sehr naiv, ebenso wie mein Wissen über theoretische Informatik (dh nur ein Abschlusskurs, der bereits während meines Studiums belegt wurde), so dass diese Frage möglicherweise gestellt wird sehr naiv.

Soweit ich feststellen konnte, ist die Beweisbarkeit von P gegenüber NP ein offenes Problem.

Jetzt:

Gödels erster Unvollständigkeitssatz besagt, dass es Aussagen geben kann, die wahr, aber weder beweisbar noch widerlegbar sind.
Wenn eine Polynomlösung für ein NP-vollständiges Problem gefunden wird, beweist dies, dass P = NP ist.

Nehmen wir also an, dass P = NP nicht beweisbar ist:
Dies bedeutet, dass kein Beispiel für eine Polynomlösung für ein NP-vollständiges Problem gefunden werden kann (andernfalls wäre dies ein Beweis).
Wenn jedoch kein Beispiel für eine Polynomlösung für ein NP-vollständiges Problem gefunden werden kann, bedeutet dies, dass P = NP falsch ist (was beweist, was bedeutet, dass die Aussage beweisbar ist), was zu einem Widerspruch führt, weshalb P = NP beweisbar sein sollte .

Dies klingt für mich wie ein Beweis für die Beweisbarkeit von P = NP, aber ich denke, es ist äußerst wahrscheinlich, dass dies auf mein mangelndes Verständnis der beteiligten logischen Themen zurückzuführen ist. Könnte mir bitte jemand helfen zu verstehen, was daran falsch ist?

np-hardness proofs p-vs-np

— Alvaro
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Siehe Scott Aaronsons Artikel "Ist P gegen NP formal unabhängig?"

— Marzio De Biasi

Es scheint mir, dass Sie grundlegendere Verwirrung darüber haben, wie etwas wahr, aber unbeweisbar sein kann. Bitte überprüfen Sie die Tour und das Hilfezentrum auf den Umfang dieser Website. Ich denke, das ist besser für Informatik oder Mathematik geeignet .

— Kaveh

Dieses semifame Papier Natürliche Beweise von Razborov / Rudich ist auf diese Frage anwendbar

— vzn

Sie könnten auch an Hartmanis 'Monographie "Machbare Berechnungen und nachweisbare Komplexitätseigenschaften" interessiert sein, in der im Wesentlichen erläutert wird, was passiert, wenn wir nur Probleme betrachten, die nachweislich in P, nachweislich in NP usw. auftreten

— Joshua Grochow,

Antworten:

Wenn P = NP, muss es Polynomzeitalgorithmen für NP-vollständige Probleme geben. Es gibt jedoch möglicherweise keinen Algorithmus, der nachweislich ein NP-vollständiges Problem löst und nachweislich in Polynomzeit ausgeführt wird.

— David Richerby
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Sie sagen also, dass der Fehler darin besteht, dass es möglicherweise ein Beispiel für eine Polynomlösung gibt, Sie aber möglicherweise nicht beweisen können, dass es sich um ein Polynom handelt? Weil es dann im Beweis nicht als Beispiel betrachtet wird, sehe ich den Fehler immer noch nicht.

— Alvaro

Angenommen, P = NP, aber dies ist nicht nachweisbar. Dies bedeutet, dass es für 3-SAT einen Polynomzeitalgorithmus A gibt. Wenn Sie beweisen könnten, dass A ein Polyzeitalgorithmus für 3-SAT ist, würde dies der Unbeweisbarkeit von P = NP widersprechen. Obwohl es wahr ist, dass A in Polynomzeit läuft und A 3-SAT löst, kann daher mindestens eine dieser Tatsachen nicht bewiesen werden. Um es in Bezug auf die Frage auszudrücken, die Tatsache, dass ein Polyzeitalgorithmus für 3-SAT existiert nicht bedeutet, dass man "gefunden werden kann".

— David Richerby

Das "Aber wenn kein Beispiel für eine Polynomlösung für ein NP-vollständiges Problem gefunden werden kann, bedeutet dies, dass P = NP falsch ist" ist falsch, weil es eine Lösung geben kann, obwohl sie nicht gefunden werden kann?

— Alvaro

Das ist richtig.

— David Richerby

Vielleicht möchten Sie darüber nachdenken, was "gefunden werden kann" bedeutet. während Sie alle Turingmaschinen für jede Maschine aufzuzählen über können, würde man zeigen müssen , dass: es eine ganze Zahl existiert und eine ganze Zahl , so dass für alle ganzen Zahlen und alle Eingänge der Größe , in läuft Zeit höchstens und entscheidet 3SAT. Aussagen wie diese sind im Allgemeinen nicht entscheidbar.

M

$M$

c

$c$

N

$N$

n \geq N

$n \geq N$

n

$n$

M

$M$

n^{c}

$n^c$

— Sasho Nikolov

Bei Gödels Unvollständigkeitssatz geht es wirklich um Beweisbarkeit, wenn eine Theorie mit ausreichender Ausdruckskraft gegeben ist. Am Ende erhalten Sie eine Aussage, die in einigen Modellen wahr und in anderen falsch sein kann und daher nicht beweisbar ist. In diesem Fall muss P = NP oder P NP in "unserer Welt" immer noch wahr sein , wenn P gegen NP nicht bewiesen werden kann, wenn Sie glauben, dass die Realität ein Modell der Mathematik ist . Wie David sagte, existiert entweder kein Polynomalgorithmus, aber wir können diese Aussage nicht beweisen, oder es gibt einen Polynomalgorithmus, aber wir können nicht beweisen, dass er das Problem löst oder in Polynomzeit läuft . $\neq$

— Tpecatte
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