Gibt es einen versteckten Zusammenhang zwischen der Existenz unzähliger Mengen und der Unentscheidbarkeit des Halteproblems?

Da beide Beweise das diagonale Argument verwenden, frage ich mich, ob es einen obskuren Zusammenhang zwischen der Existenz unzähliger unendlicher Mengen und der Unentscheidbarkeit des Halteproblems gibt. Wäre das Stoppproblem entscheidbar, wenn alle Sätze abzählbar wären?

halting-problem

— Lenar Hoyt
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Ja, das diagonale Argument!

— Mahdi Cheraghchi

@MCH Mein Gedanke war, dass es neben dem diagonalen Argument, das beide verbindet, vielleicht eine andere Charakterisierung gibt. Diese Frage ist für SE vielleicht zu verschwommen.

— Lenar Hoyt

Dies kann eine teilweise Verknüpfung sein: Es ist klar, dass die Menge aller Sprachen über ein bestimmtes Alphabet unzählig ist. Der Satz aller Turingmaschinen ist jedoch zählbar. Dies impliziert direkt die Existenz unentscheidbarer Probleme. Diese Argumentation impliziert jedoch nichts über das Stoppproblem.

— 042

Es gibt sicherlich satztheoretische Modelle von ZFC, bei denen alle Mengen zählbar sind (obwohl nicht innerhalb des Modells), aber das Stoppproblem ist immer unentscheidbar. Siehe diese MathOverflow-Frage .

— Peter Shor

Bitte, bitte, bitte sagen Sie von nun an Unentscheidbarkeit.

— Vijay D

Es ist keine versteckte Verbindung, sondern eine, die mit der Sprache der Kategorietheorie explizit gemacht wurde und auch eine sehr natürliche Frage ist, die gestellt und studiert werden muss. Es gibt einiges an Material zu diesem Thema.

CS-Theorie-Frage , die dasselbe fragt
Andrej Bauers Blogbeitrag über Fixpunktsätze und Cantors Satz.
Ein universeller Ansatz für selbstreferenzielle Paradoxe, Unvollständigkeit und Fixpunkte , Noson Yanofsky, 2003. Im Folgenden finden Sie eine sanfte Einführung in Lawveres Artikel.
Diagonale Argumente und kartesische geschlossene Kategorien , F. William Lawvere, 2006 Neuveröffentlichung eines Artikels aus dem Jahr 1969, der diese Zusammenhänge präzisiert.
Unvollständigkeit in einer allgemeinen Umgebung , John Bell, 2007
Von Lawvere zu Brandenburger-Keisler: Interaktive Formen der Diagonalisierung und Selbstreferenz , Samson Abramsky und Jonathan Zvesper, 2010. Erweiterung der Lawvere-Argumente auf spieltheoretische Unmöglichkeitsergebnisse.

— Vijay D.
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