Ist eine einheitliche RNC im Polylog-Raum enthalten?

Log-Space-Uniform NC ist im deterministischen Polylog-Space enthalten (manchmal geschriebenes PolyL). Gehört RNC auch zu dieser Klasse? Die standardmäßige randomisierte Version von PolyL sollte in PolyL vorliegen, aber ich sehe nicht, dass (einheitliche) RNC in randomisiertem PolyL vorliegt.

Die Schwierigkeit, die ich sehe, besteht darin, dass die Schaltung in RNC "die zufälligen Bits betrachten" kann, so viel sie will; dh die zufälligen Eingänge können ein beliebiges Fanout haben. In der randomisierten Version von PolyL ist es jedoch nicht so, dass Sie ein Band mit zufälligen Bits erhalten, das Sie sich so oft ansehen können, wie Sie möchten. Vielmehr darf bei jedem Zeitschritt nur eine Münze geworfen werden.

Vielen Dank!

Vielleicht denken die meisten Leute, dass (oder sogar, dass R N C = N C ), aber ich bin diesbezüglich skeptisch (siehe den zweiten Teil meines Dokuments) Antwort unten). Wenn R N C tatsächlich in D S P A C E ( P o l y l o g ) enthalten ist , dann ist es auch in $\mathsf{RNC}\subseteq \mathsf{DSPACE(polylog)}$$\mathsf{RNC}=\mathsf{NC}$$\mathsf{RNC}$$\mathsf{DSPACE(polylog)}$ (genauer gesagt ist es in D T I M E ( 2 P o l y l o g ) nach erschöpfender Suche).$\mathsf{NTIME(2^{polylog})}$$\mathsf{DTIME(2^{polylog})}$

Valentine Kabanets mir erklärt die folgenden Punkte (Volkskunde) Argument von seinem Papier mit Russell Impagliazzo , die erklärt , warum unwahrscheinlich ist.$\mathsf{RNC} \subseteq \mathsf{NTIME(2^{polylog})}$

Theorem: Wenn , dann ist entweder N E X P ist nicht berechenbar durch Boolesche Schaltungen der Größe O ( 2 n / n ) (dh Unter maxsize durch Shannon (irrelevant, aber siehe Lupanov für die Dichtheit) oder Permanent ist nicht durch (teilungsfreie) arithmetische Formeln über Z von quasipolynomialer Größe berechenbar .$\mathsf{RNC}\subseteq \mathsf{NTIME(2^{polylog})}$$\mathsf{NEXP}$$o(2^n/n)$${\mathbb Z}$

Beweis: Nehmen Sie an, . Wenn Permanent eine quasipolynomiale Größenformel hat, können wir eine solche Formel für Permanent unter Verwendung eines quasipolynomialen Zeitpolynomidentitätstesters unter der Annahme erraten und verifizieren. Dadurch wird Permanent in N T I M E ( 2 P o l y l o g ) gesetzt .$\mathsf{RNC}\subseteq \mathsf{NTIME(2^{polylog})}$$\mathsf{NTIME(2^{polylog})}$

Nach dem Satz von Toda ist dann auch in N T I M E ( 2 p o l y l o g ) . Durch Klotzen, die linear-exponentielle Zeitversion von Σ 5 ist auch in N E X P . Daher hat die linear-exponentielle Version von Σ 5 einen Kreis der Größe o ( 2 n / n ) (dh Submax). Aber durch ein einfaches Diagonalisierungsargument kann man zeigen, dass die linear-exponentielle Version von Σ $\Sigma_2$$\mathsf{NTIME(2^{polylog})}$$\Sigma_5$$\mathsf{NEXP}$$\Sigma_5$$o(2^n/n)$$\Sigma_5$erfordert eine maximale Schaltkreisgröße, was ein Widerspruch ist (im Übrigen ist dies eine Variante einer Frage der Mittelstufe für einen Komplexitätskurs auf Graduiertenebene; okay, vielleicht beweist dies, dass Schaltkreise mit maximaler Größe erfordert ist eine einfachere). QED.$\mathsf{EXPSPACE}$

Nun die unpopuläre Richtung.

Wir wissen bereits, dass zufälliges Lesen oft etwas nicht offensichtliches bewirken kann. Ein interessantes Beispiel findet sich in " Eindeutigmachen des Nichtdeterminismus " von Reinhardt und Allender (sie geben es in Bezug auf die Ungleichmäßigkeit an, aber es geht im Prinzip um die Verwendung der Vielfach-Lese-Zufälligkeit). Ein weiteres interessantes Beispiel (weniger direkt verwandt) ist " Randomness Buys Depth for Approximate Counting " von Emanuele Viola. Ich denke , alles , was ich sage ist , dass ich nicht , ob die derandomization von überrascht sein würde ist nicht das, was die meisten Leute würden erwarten , dass es sein.$\mathsf{RNC}$

(Es gibt auch ein paar andere Papiere, wie Noam Nisans wundervolles Papier über einmaliges Lesen vs. viele Zufälligkeiten, die zeigen, wie man zweiseitigen Fehler mit einseitigem Fehler kauft.)

Übrigens ist das Verständnis, wie man PRGs konstruiert, die raumgebundene Rechenmodelle mit mehreren Zugriffen auf ihre Eingabe (z. B. lineare Längen Bps) täuschen, auch sehr mit dieser Frage verbunden.

- Periklis