Untere Schranken für algebraische Schaltkreise
Bei der Einstellung algebraischer Schaltungen, bei der eine untere Schranke der Schaltungsgröße analog zu einer unteren Schranke der Zeit ist, sind viele Ergebnisse bekannt, bei den moderneren Ergebnissen gibt es jedoch nur wenige Kerntechniken. Ich weiß, dass Sie nach Zeituntergrenzen gefragt haben, aber ich denke, in vielen Fällen besteht die Hoffnung darin, dass die algebraischen Untergrenzen eines Tages zu Booleschen / Turing-Maschinenuntergrenzen führen. Diese Ergebnisse verwenden oft tiefere Techniken aus der "reinen Mathematik", wie Sie es ausdrücken.
I. Der Grad gebunden.
Strassen zeigte, dass das Protokoll des Grades einer bestimmten algebraischen Varietät, die einer (Menge von) Funktion (en) zugeordnet ist, eine Untergrenze für die Größe des algebraischen Schaltkreises zur Berechnung dieser Funktionen darstellt.
II. Verbundene Komponenten (oder allgemeiner die Dimension einer höheren Homologiegruppe).
Ben-Or hat gezeigt, dass die Größe eines realen algebraischen Entscheidungsbaums, der über die Zugehörigkeit zu einer (semi-algebraischen) Menge entscheidet, mindestens wobei C die Anzahl der verbundenen Komponenten dieser Menge ist. Ben-Or hat dies verwendet, um eine untere Grenze von Ω ( n log n ) für die Sortierung (also die Elementunterscheidbarkeit, aber die Elementunterscheidbarkeit reduziert sich auf die Sortierung) im realen algebraischen Entscheidungsbaummodell zu beweisen . Yao erweiterte dies von verbundenen Komponenten auf die Summe der Betti-Zahlen und erwies sich als optimale Untergrenze für andere Probleme (wie k- Gleichungen). In einem anderen Artikel hat Yao dies auf algebraische Entscheidungsbäume über die ganzen Zahlen ausgedehnt.LogCCΩ ( n logn )k
III. Teilweise Ableitungen.
Dies war das Arbeitstier vieler der unteren Schranken moderner algebraischer Schaltkreise. Ich glaube, dass partielle Ableitungen zuerst verwendet wurden, um eine Untergrenze von Baur-Strassen zu beweisen, wo sie zeigten, dass die Berechnung aller ersten Teilwerte von in Größe 5 s erfolgen kann, wobei s die Größe ist, die zur Berechnung von f benötigt wird . In Kombination mit der Gradgrenze von Strassen ergab sich für verschiedene Funktionen eine Untergrenze der Größe von Ω ( n log n ) , die für eine explizite Funktion immer noch die stärkste Untergrenze der Größe uneingeschränkter arithmetischer Schaltkreise darstellt.f5 ssfΩ ( n logn )
Die neuere Verwendung von partiellen Ableitungen scheint aus einer Arbeit von Nisan zu stammen, in der er die unteren Schranken für nichtkommutative Schaltungen unter Berücksichtigung der Dimension des Raums aller partiellen Ableitungen bewies. Dies wurde verwendet, um von Nisan-Wigderson untere Schranken für eingeschränkte Arten von Tiefen-3-Schaltkreisen zu beweisen, und ähnliche Ideen wurden verwendet, um untere Schranken für die Größe mehrliniger Formeln von Raz (und verwandten Modellen von Raz und Mitarbeitern) zu beweisen. Die jüngsten Tiefen 4 und Tiefen 3 von Gupta, Kayal, Kamath und Saptharishi verwenden eine Verallgemeinerung dieser Idee, um die Dimension des Raums von "verschobenen partiellen Ableitungen" zu zählen - wobei Sie partielle Ableitungen nehmen und dann mit multiplizieren können alle Monome eines bestimmten Grades. ) kann "nur" eine Frage des besseren Verständnisses des von unbefristeten Minderjährigen erzeugten Ideals sein (siehe die Vermutung am Ende ihrer Arbeit).V P ≠ V N P
IV. Gleichungen für Sorten definieren.
Die Idee dabei ist, eine bestimmte algebraische Varietät mit "einfachen Funktionen" zu verknüpfen, Gleichungen zu finden, die für diese Varietät verschwinden, und zu zeigen, dass diese Gleichungen für Ihre "harte Funktion" nicht verschwinden. (Damit wird bewiesen, dass Ihre harte Funktion nicht in der Vielfalt der einfachen Funktionen liegt, so dass sie tatsächlich hart ist.) Besonders nützlich bei unteren Schranken der Matrixmultiplikation. Siehe Landsberg - Ottaviani auf der arXiv für die neuesten Informationen und Verweise auf frühere Untergrenzen.
(Tatsächlich können ich, II und III oben alle als Sonderfälle angesehen werden, in denen definierende Gleichungen für bestimmte Sorten gefunden werden, obwohl die Beweise, die ich, II, III verwenden, im Wesentlichen nie so formuliert werden, da es nicht wirklich eine gab müssen.)
V. Darstellungstheorie, insb. wie in der geometrischen Komplexitätstheorie.
Eigentlich auch von Landsberg-Ottaviani verwendet, um Gleichungen für eine bestimmte Sorte zu finden. Wird auch von Burgisser-Ikenmeyer verwendet, um einen "rein" darstellungstheoretischen Beweis für eine etwas schwächere Untergrenze der Matrixmultiplikation zu erhalten. Von Mulmuley und Sohoni vermutet (vgl. "Geometric Complexity Theory I & II"), dass es nützlich ist, gegen V N P und letztendlich N P gegen P / p o l y aufzulösen .V PV N PN PP / P o l y