Wie komplex ist es zu überprüfen, ob eine Matrix diagonalisierbar ist?

Gegeben ist eine Matrix mit rationalen Einträgen. Wie komplex ist es zu überprüfen, ob diagonalisierbar ist? $n\times n$ $A$ $A$

Ich vermute, dass dies in P gemacht werden kann, aber ich kenne keine Referenz. Interessanter ist jedoch die Frage, ob es eine bessere Komplexitätsklasse gibt, um dieses Problem zu erfassen.

Jede Anleitung / Kommentar ist willkommen! Vielen Dank.

cc.complexity-theory linear-algebra matrices

— Amatrix
quelle

Durch Berechnung und Faktorisierung des charakteristischen Polynoms können Sie in der Polynomzeit prüfen, ob die Matrix diagonalisierbar ist. Ich kenne keine besseren Grenzen für dieses Problem.

— Bruno

@Bruno Nehmen Sie an, dass eine Matrix diagonalisierbar ist, wenn sie unterschiedliche Eigenwerte hat? Dies ist nicht wahr, es ist eine ausreichende, aber nicht notwendige Bedingung. Eine Identitätsmatrix ist ein Gegenbeispiel.

— Tyson Williams

@TysonWilliams: Ich nahm die äquivalente Tatsache an, dass eine Matrix diagonalisierbar ist, wenn ihr charakteristisches Polynom ein Produkt aus verschiedenen linearen Faktoren ist. Natürlich gilt die Äquivalenz nicht für das charakteristische Polynom, sondern für das minimale Polynom ...

— Bruno

Um meinen Fehler zu kompensieren, ist hier eine Referenz für einen Polynomzeitalgorithmus zum Berechnen des Minimalpolynoms, aus dem Sie leicht einen Algorithmus zum Überprüfen der Diagonalisierbarkeit erhalten (oder extrahieren): Zur Berechnung von Minimalpolynomen, zyklischen Vektoren und Frobeniusformen durch Daniel Augot und Paul Camion.

— Bruno

Sie können die jordanische kanonische Form einer rationalen Matrix in Polynomialzeit berechnen: worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S0129054194000165

— Robin Kothari

Sie können dies in Uniform NC tun, siehe:

G. Villard. Schnelle parallele Algorithmen zur Reduktion der Matrix auf kanonische Formen. AAECC 8: 511-537, 1997. http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs002000050089

— Markus Bläser
quelle