Gibt es einen dreieckfreien, sternschnittfreien Kreisgraphen mit mehr als n Kanten?

Ich versuche, ein Diagramm mit diesen Eigenschaften für meine Studien zu finden, aber leider kann ich ein solches Diagramm nicht finden.

Weiß jemand, ob es diese Grafik gibt oder warum es unmöglich ist zu existieren?

graph-theory graph-classes

— Rafael Oliveira Lopes
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Können Sie Ihre Terminologie erklären? Was ist "star-cutset-free" und was ist "circle graph"?

— Yuval Filmus

Sicher. =) Ein Kreisdiagramm ist ein Diagramm (ungerichtet), dessen Scheitelpunkte Akkorden in einem Kreis so zugeordnet werden können, dass zwei Scheitelpunkte benachbart sind, wenn sich die entsprechenden Akkorde kreuzen. Hier ist ein Bild als Beispiel (aus Wikipedia): en.wikipedia.org/wiki/File:Circle_graph.svg Und wir können sagen, dass ein Diagramm einen Sternschnitt hat, wenn Sie einen Scheitelpunkt v haben, so dass v und seine Nachbarn entfernt werden (N. [v]) aus dem Diagramm wird es getrennt.

— Rafael Oliveira Lopes

ISGCI enthält Definitionen für Dreiecks- und Kreisdiagramme . Eine Sternschnittmenge ist eine Teilmenge von Scheitelpunkten, die den Graphen so trennt, dass ein Scheitelpunkt in jedem anderen Scheitelpunkt in benachbart ist .

S

$S$

S

$S$

S

$S$

— Jeffs

Dieses Papier kann relevant sein.

— Jeffs

Antworten:

Angenommen, ist ein dreieckfreier Kreisgraph ohne Sternschnitt. Ich werde zeigen, dass keinen Scheitelpunkt mit einem Grad von mehr als 2 enthält. Daher hat höchstens Kanten. $G$ $G$ $G$ $n$

Betrachten wir einen Kreis Darstellung von . Ein Satz von Akkorden ist parallel, wenn sich keine zwei kreuzen, aber es gibt eine Linie, die alle Akkorde kreuzt. $C$ $G$

Eigenschaft 1 : hat keine 3 parallelen Akkorde. $C$

Beweis . Angenommen, hat 3 parallele Akkorde. Bedienen Sie den Scheitelpunkt , der dem mittleren Akkord entspricht. Dann ist ein Cutset. Dies beweist die Eigenschaft. $C$ $v$ $N[v]$

Aus Gründen des Widerspruchs wird angenommen, dass einen Scheitelpunkt mit einem Grad von mindestens 3 hat. Dann schneidet der Akkord, der entspricht, 3 andere Akkorde. Da diese 3 Akkorde eine Linie schneiden, sind sie entweder parallel oder zwei von ihnen schneiden sich. Aufgrund der Eigenschaft 1 schneiden sich zwei von ihnen, was bedeutet, dass ihre Eckpunkte mit ein Dreieck bilden , was widerspricht, dass dreieckfrei ist. $G$ $v$ $v$ $v$ $G$

— Serge Gaspers
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n

$n$

n

$n$

Ok, wie korrigiert denke ich, dass dies funktioniert und einfacher ist als mein Beweis.

— David Eppstein

$n$ $m$ $m+n+1$ $2n$ $m>n$ $p$ $c$ $p$ $c$ $p$

— David Eppstein
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