Annäherung an den Vorzeichenrang einer Matrix

Der Vorzeichenrang einer Matrix A mit + 1, -1 Einträgen ist der niedrigste Rang (über den Reals) einer Matrix B, die dasselbe Vorzeichenmuster wie A hat (dh für alle i , j ). Dieser Begriff ist wichtig für die Komplexität der Kommunikation und die Lerntheorie.$A_{ij}B_{ij}>0$$i,j$

Meine Frage ist: Gibt es bekannte (subexponentielle Zeit-) Algorithmen, die den Vorzeichenrang einer Matrix auf einen Faktor approximieren ?$o(n)$

(Ich kenne Forsters untere Grenze des Vorzeichenrangs in Bezug auf die spektrale Norm, aber dies ergibt im Allgemeinen kein besseres Näherungsverhältnis als .)$\Omega(n)$

Ich glaube, das ist eine offene Frage.

Lee und Schraibman in "Ein Approximationsalgorithmus für den Approximationsrang" zeigen, dass der Approximationsrang durch einen polynomiellen Zeitalgorithmus auf einen konstanten Faktor approximiert werden kann. Dazu beziehen sie eine semidefinite Programmiergröße auf den Approximationsrang, wobei α ein endlicher Parameter ist, der größer als 1 ist. Wenn α an die Grenze der Unendlichkeit gebracht wird, ergibt sich der Vorzeichenrang, aber das Ergebnis ergibt nichts Rahmen.$\gamma_2^\alpha$$\alpha$$\alpha$

$O(n/\log n)$$d$$S$

• $M$$S$$\mathrm{rank}\ M = O(n^{1-1/d})$
• $S$$d$

$M$$O(n^{1-1/d}/d)$$d = \Theta(\log n)$