Das Problem des Prüfers (einheitliche Generierung von SAT-Entscheidungsinstanzen / -antworten)

Der Lehrassistent eines Kurses hat es geschafft, ein Programm zu schreiben, das (deterministisch) schwierige Prüfungsfragen erzeugt. Jetzt möchte sie ein Programm schreiben, das die entsprechenden Antworten generiert. Das Problem des Prüfers fragt, ob dies immer möglich ist. der Prüfer Vermutung besagt , dass, unter der Annahme, , ist es nicht : Probleme nach oben kommt , ist einfacher als mit ihren Lösungen kommen.$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

Formal sei eine deterministische Turingmaschine, die bei Eingabe in Polynomzeit eine Boolesche Formel der Größe . Ich würde gerne wissen, ob es für all diese eine deterministische Polynomzeit-Turingmaschine , die bei Eingabe " " ausgibt, wenn eine zufriedenstellende Zuordnung und " " hat " Andernfalls.1 n n M M ' 1 n$M$$1^n$$n$$M$$M'$$1^n$$1$$M(1^n)$$0$

Angenommen, , wurde diese Frage bereits gestellt oder beantwortet? Wenn nicht beantwortet, welche zusätzlichen Annahmen ( z. B. Einwegfunktionen?) Könnten sich auf das Ergebnis auswirken? Abgesehen von den oben genannten ist meine "Vermutung", dass das "antwortende" TM nicht immer existiert, aber was ist Ihre Intuition?$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

Vielen Dank!

Die Frage, die Sie stellen, entspricht durch Auffüllen unary NP = unary P, was wiederum NE = E entspricht.

Vielleicht wollten Sie anhand des Titels fragen, ob es möglich ist, Eingabe / Ausgabe-Paare so zu generieren, dass die Verteilung auf die Eingaben "hart" ist. Die Möglichkeit, dies zu tun, liegt irgendwo zwischen P NP und Einwegfunktionen.$\ne$

In eingeschränkten Rechenmodellen ist bekannt, dass dies möglich ist. Beispielsweise kann man Eingabe / Ausgabe-Paare für die Paritäts- oder Mehrheitsfunktionen in AC 0 oder darunter erzeugen . Siehe Die Komplexität von Verteilungen .$^0$

Frage: Lassen Sie Formeln erzeugen. Gehört { M ( 1 n ) ∣ n ∈ N ∧ M ( 1 n ) ∈ S A T } zu P ?$M\in \mathsf{PF}$$\{ M(1^n) \mid n\in \mathbb{N} \land M(1^n)\in SAT\}$$\mathsf{P}$

$succinctSAT \in \mathsf{E} \implies$ Ja:

$1^n$$n^{O(1)}$

$\varphi = M(1^n)$$n$$|\varphi|$$\varphi$$\lg n+O(1)$$M$$n$$succintSAT$$\mathsf{E}$$2^{O(\lg n)} = n^{O(1)}$

Ja $\implies succinctSAT \in \mathsf{E}$

$M \in \mathsf{PF}$$C$$M$$C$$\bot$

$\{ M(1^n) \mid n\in \mathbb{N} \land M(1^n)\in SAT\}$$\mathsf{P}$$succinctSAT$

$SAT$

Wir müssen klären, was wir damit meinen, dass die Instanz hart ist, da jede Instanz für sich (theoretisch) einfach ist, da sie entweder durch den Algorithmus gelöst werden kann, der immer Ja sagt, oder durch den Algorithmus, der immer Nein sagt. Es scheint mir, dass Sie versucht haben, dieses Problem zu umgehen, indem Sie Einheitlichkeit auferlegt haben. In kryptografischen Begriffen zu denken, ohne einige Informationen, die dem Gegner nicht offenbart werden, macht es keinen Sinn, den Rest der Berechnung zu verbergen, da der Gegner das Protokoll simulieren kann.

$n$$n$

$A$
$k \in \{0,1\}^n$
$\varphi_k$$w_k$
$D$
$A$

Oder formeller:

$A\in \mathsf{PF}$$D \in \mathsf{P/poly}$$SAT(A(k)_1) = A(k)_2$$k$

$$\mathsf{Pr}_{k \in \{0,1\}^n} \{ D(A(k)_1) = SAT(A(K)_1) \} < \frac{1}{poly(n)}$$

$k$$\varphi_k$$A(k)_2$

$f$$f(x)=y$$f$$y$$\varphi_{f,y}(x)$$x$$\varphi_{f,y}(x)$$SAT$$f$$f$

Siehe auch Kapitel 29 und 30 von Jan Krajiceks Buch "Forcing with Random Variables", 2011 über Proof Complexity Generators .