[Ich beantworte die Frage wie im Titel angegeben und lasse die Litanei anderer Fragen zu GCT für andere Threads übrig.] Wenn die in GCT auftretenden Vermutungen bewiesen werden, scheint dies die Tatsache entscheidend zu nutzen, dass die betrachteten Funktionen (determinant und permanent) und andere verwandte Polynome für P / poly und NP) sind durch ihre Symmetrien charakterisiert. Diese Notwendigkeit ist kein formelles Ergebnis, sondern eine von mehreren Experten zum Ausdruck gebrachte Intuition. (Grundsätzlich ist es weitaus schwieriger, die entstehende algebraische Geometrie und Darstellungstheorie zu verstehen, wenn keine Charakterisierung durch Symmetrien erfolgt.)
Dies sollte Razborov-Rudich umgehen, da nur sehr wenige Funktionen durch ihre Symmetrie gekennzeichnet sind (unter Umgehung der Größe bei der Definition von natürlichen Beweisen). Auch hier habe ich keinen Beweis dafür gesehen, aber es ist eine Intuition, die ich von mehreren Experten gehört habe.
Bei den komplexen Zahlen ist mir nicht klar, dass es ein Analogon von Rasborow-Ruditsch gibt. Obwohl sich der Großteil der GCT derzeit auf die komplexen Zahlen konzentriert, gibt es Analoga in der endlichen Eigenschaft (versprochen in der bevorstehenden Veröffentlichung GCT VIII). In endlichen Merkmalen könnte man tatsächlich eine Aussage der Form "Nur sehr wenige Funktionen zeichnen sich durch ihre Symmetrien aus" nachweisen.
[Als Antwort auf Ross Sniders Kommentar folgt eine Erklärung der Charakterisierung durch Symmetrien.]
Zunächst eine beispielhafte Erklärung. Definieren Sie für das Beispiel eine Hilfsfunktion . Wenn A eine Permutationsmatrix, dann q ( A ) = 1 und wenn A diagonal ist , dann q ( A ) = d e t ( A ) (Produkt der diagonalen Einträge). Nehmen wir nun an, p ( X ) sei ein homogenes Grad- n- Polynom in n 2 -Variablen (die wir als die Entire einer n × n- Matrix X betrachten)qEINq( A ) = 1EINq( A ) = de t ( A )p ( X)nn2n × nX). Wenn die folgenden Symmetrien hat:p
- (transponieren)p ( X) = p ( Xt)
- für alle Paare von Matrizen ( A , B ), so dass A und B entweder Permutationsmatrizen oder Diagonalmatrizen sind und q ( A ) q ( B ) = 1p ( A XB ) = p ( X)( A , B )EINBq( A ) q( B ) = 1
dann ist ein konstantes Vielfaches von p e R m ( X ) für alle Matrizen X . Daher sagen wir, dass die bleibende Kraft durch ihre Symmetrien gekennzeichnet ist.p ( X)p e r m ( X)X
Ganz allgemein, wenn wir ein (homogenes) Polynom haben . . . , in m Variablen, dann G L m (die Gruppe aller invertierbaren m × m - Matrizen) auf f durch ( A f ) ( x 1 , . . . , x m ) = f ( A - 1 ( x 1 ) ,f( x1, . . . , xm)mG Lmm × mf für A ∈ G L m (wo wir die Variablen einnehmen x 1 , . . . , X m als Basis für den m -dimensionalen Vektorraumauf der G L m natürlich wirkt). Der Stabilisator von f in G L m ist die Untergruppe Stab ( f ) = { A ∈ G( A f) ( x1, . . . , xm) = f( A- 1( x1) , . . . , A- 1( xm) )A ∈ G Lmx1, . . . , xmmG LmfG Lm . Wir sagen, f ist durch seine Symmetrien charakterisiert, wenn gilt: für jedes homogene Polynom f ' in m Variablen des gleichen Grades wie f , wenn A f ' = f ' für alle A ∈ Stab ( f ) , dann ist f ' a konstantes Vielfaches von f .Stich ( f) = { A ∈ G Lm: A f=f}ff′mfA f′= f′A ∈ Stich ( f)f′f