Das folgende Beispiel stammt aus dem Artikel, der eine kombinatorische Charakterisierung der Auflösungsbreite durch Atserias und Dalmau liefert ( Journal , ECCC , Autorenexemplar ).
Theorem 2 der Arbeit besagt, dass unter der Annahme einer CNF-Formel Auflösungs-Widerlegungen mit einer Breite von höchstens k für F Gewinnstrategien für Spoiler im existentiellen ( k + 1 ) -Kieselspiel entsprechen. Denken Sie daran, dass das existenzielle Pebble-Spiel zwischen zwei konkurrierenden Spielern, genannt Spoiler und Duplicator, gespielt wird und die Positionen des Spiels partielle Zuweisungen der Domänengröße von höchstens k + 1 zu Variablen von F sind . Im ( k + 1 ) -Kieselspiel will Spoiler ausgehend von der leeren Aufgabe eine Klausel von F fälschenFkF(k+1)k+1F(k+1)FDabei werden höchstens boolesche Werte gleichzeitig gespeichert, und Duplicator möchte verhindern, dass Spoiler dies tut.k+1
Das Beispiel basiert auf (der Negation von) dem Pigeonhole-Prinzip.
Für jedes und j ∈ { 1 , … , n } sei p i , j eine aussagekräftige Variable, was bedeutet, dass die Taube i in Loch j sitzt . Für jedes i ∈ { 1 , … , n + 1 } und j ∈ { 0 , … , n } seii∈{1,…,n+1}j∈{1,…,n}pi,jiji∈{1,…,n+1}j∈{0,…,n} sei eine neue Satzvariable. Die folgende 3 -cnf Formel E P i zum Ausdruckdass Taube i in irgendeinem Loch sitzt:
E P i ≡ ¬ y i , 0 ∧ n ⋀ j = 1 ( y i , j - 1 ∨ p i , j ∨ ¬ y i , j ) ∧ y i , n .yi,j3EPii
EPi≡¬yi,0∧⋀j=1n(yi,j−1∨pi,j∨¬yi,j)∧yi,n.
Schließlich ist die -cnf Formel E P H P n + 1 n die Negation des pigeonhole Prinzip exprimierenden ist die Konjunktion aller E P i und alle Klauseln H i , j k ≡ ¬ p i , k ∨ ¬ p j , k für i , j ∈ { 1 , … , n + 1 } , i ≠ j und3EPHPn+1nEPiHi,jk≡¬pi,k∨¬pj,ki,j∈{1,…,n+1},i≠j .k∈{1,…,n}
Lemma 6 des Papiers gibt einen ziemlich kurzen und intuitiven Beweis dafür , dass Spoiler nicht gewinnen können -Kieselstrand Spiel auf E P H P n + 1 n , also E P H P n + 1 n hat keine Resolutionswiderlegung der Breite höchstens n - 1 .nEPHPn+1nEPHPn+1nn−1
Die Arbeit hat ein weiteres Beispiel in Lemma 9, das auf dem Prinzip der dichten linearen Ordnung basiert.
Ω(n(k−3)/12)k+1