Intermediate

Das Partitionsproblem ist schwach NP-vollständig, da es einen Polynom-Zeitalgorithmus (Pseudo-Polynom-Zeitalgorithmus) aufweist, wenn die Eingabe-Ganzzahlen durch ein Polynom begrenzt sind. 3-Partition ist jedoch ein starkes NP-vollständiges Problem, selbst wenn die Eingabe-Ganzzahlen durch ein Polynom begrenzt sind.

Unter der Annahme, , können wir beweisen, dass intermediäre NP-vollständige Probleme existieren müssen? Wenn die Antwort ja ist, gibt es ein solches "natürliches" Kandidatenproblem?$\mathsf{P \ne NP}$

Das Intermediate NP-complete-Problem ist hier ein Problem, das weder einen pseudo-polynomialen Zeitalgorithmus noch NP-complete im engeren Sinne aufweist.

Ich vermute, dass es eine unendliche Hierarchie von NP-vollständigen Zwischenproblemen zwischen schwacher NP-Vollständigkeit und starker NP-Vollständigkeit gibt.

EDIT 6. März : Wie in den Kommentaren erwähnt, ist eine alternative Möglichkeit, die Frage zu stellen:

Angenommen, , können wir die Existenz von NP-vollständigen Problemen beweisen, die weder einen polynomiellen Zeitalgorithmus noch NP-vollständige haben, wenn die numerischen Eingaben in Unärzahl dargestellt werden? Wenn die Antwort ja ist, gibt es ein solches "natürliches" Kandidatenproblem?$\mathsf{P \ne NP}$

EDIT2 6. März : Die umgekehrte Richtung der Implikation ist wahr. Die Existenz solcher "intermediärer" -kompletter Probleme impliziert P ≠ N P, da bei P = N P unäre N P -komplette Probleme in P sind .$NP$$\mathsf{P \ne NP}$$\mathsf{ P=NP}$$NP$$P$

Dies ist eine Teilantwort, die nur ein Kandidaten-Zwischen- -vollständiges Problem ergibt.$NP$

-Equal Sum Subsets Problem: eine Multimenge von Gegeben n positiven ganzen Zahlen A = { a 1 , . . . , a n } gibt es k nicht leere disjunkte Teilmengen$k$$n$$A = \{a_1,...,a_n\}$$k$ so, dass s u m ( S 1 ) = . . $S_1,...,S_k ⊆ \{a_1,...,a_n\}$ ?$sum(S_1) = ... = sum(S_k)$

Das Problem ist schwach -vollständig, wenn k = O ( 1 ) und hat daher einen pseudo-polynomialen Zeitalgorithmus für jede feste konstante ganze Zahl k > 2 . Es wird jedoch stark N P -komplette wenn die Anzahl der Untergruppen gleich Summe k = Ω ( n ) .$NP$$k= O(1)$$k > 2$$NP$$k= \Omega(n)$

Wenn und k = O ( log n ) ist, dann ist das k -Equal Sum Subsets-Problem ein Kandidaten-Zwischen- N P -Vollständigkeitsproblem (wie in der Frage beschrieben). Es ist weder bekannt, dass dieses Problem einen pseudo-polynomialen Zeitalgorithmus aufweist, noch dass es im starken Sinne N P -vollständig ist.$k= \omega(1)$$k= O(\log n)$$k$$NP$$NP$

Referenz:

CIELIEBAK, EIDENBENZ, PAGOURTZIS und SCHLUDE über die Komplexität von Variationen gleicher Summenteilmengen, Nordic Journal of Computing 14 (2008), 151–172