SC ^ 2-Algorithmen für die st-Konnektivität

Savitch gab einen deterministischen Algorithmus zum Lösen der st-Konnektivität unter Verwendung des -Raums an, der N L ⊆ D S P A C E ( log 2 n ) impliziert . Der Savitch-Algorithmus läuft in der Zeit 2 O ( log 2 n ) . Es ist ein großes offenes Problem, ob die st-Konnektivität durch einen deterministischen Algorithmus in Polynomzeit und O ( log 2 n ) -Raum gelöst werden kann, dh ob $O({\log}^2{n})$$NL \subseteq DSPACE({\log}^2{n})$$2^{O({\log}^2{n})}$$O({\log}^2{n})$ . R L , die liegt zwischen L und N L wirdbekanntsein, S C 2 . Somit liegt die Erreichbarkeit in gerichteten Graphen mit polynomieller Mischzeit in S C 2 .$NL \subseteq SC^2$$RL$$L$$NL$$SC^2$$SC^2$

Ich suche spezielle Fälle von st-Konnektivität (die nicht in ), die S C 2 -Algorithmen haben. Ist etwas über planare Graphen, planare DAGs bekannt? Beachten Sie, dass die st-Konnektivität in DAGs NL-vollständig bleibt.$L$$SC^2$

In gibt es zwei verwandte Komplexitätsklassen, die sich auch in LogDCFL befinden , wodurch sie in SC 2 (von Cook ) abgelegt werden . $\text{NL}$$\text{LogDCFL}$$\text{SC}^2$

• Die erste ist für "Reach-Unambiguous Log-Space", das die Erreichbarkeit in Mangroven (Graphen, bei denen jedes Knotenpaar höchstens einen gerichteten Pfad zwischen sich hat) als vollständiges Problem darstellt. Diese Klasse wurde bereits diskutiert .$\text{RUL}$
• Das zweite ist , das eine vollständige Erreichbarkeit für Diagramme mit höchstens einer polynomiellen Anzahl von Pfaden zwischen einem beliebigen Paar von Scheitelpunkten aufweist.$\text{ReachFewL}$

Das Durchführen einer Tiefensuche in diesen Diagrammen mithilfe eines Stapels hat die Garantie, dass dies polynomielle Zeit . Diese Klassen befinden sich daher in LogDCFL ⊆ SC 2 .$\text{LogDCFL} \subseteq \text{SC}^2$

Die letzte Komplexitätskonferenz hat einige Fortschritte in dieser Frage gezeigt. Die Erreichbarkeit in planaren DAGs mit -Quellen kann im O ( log n ) -Raum gelöst werden$O(\log n)$$O(\log n)$ .

Hier ist auch eine aktuelle Umfrage von Allender: "Probleme mit der Erreichbarkeit: Ein Update"