Angenommen, der Graph hat eine gerade Anzahl von Eckpunkten. In der zweiten Stufe werden wir die Konstruktion erweitern, so dass wir, wenn k gerade ist, zeigen werden, wie man den Graphen in eine ungerade Anzahl von Scheitelpunkten verwandelt.
Die Lösung ist eine Verfeinerung der in der anderen Antwort vorgeschlagenen Idee.
Erster Teil
Behauptung: Wenn ein k regelmäßiger Graph G mit einer geraden Anzahl von Eckpunkten gegeben ist, kann man einen Graphen berechnen, Hder (k+1) -regelmäßig ist, und H ist ein Hamiltonscher iff G Hamiltonian ist.
Beweis: Man nehme zwei Kopien des regulären Graphen G und bezeichne sie als G 1 und G 2 . Für einen Eckpunkt v ∈ V ( G ) seien v 1 und v 2 die entsprechenden Kopien. Erstellen Sie eine Clique mit k + 2 Eckpunkten für v . Pick zwei Eckpunkte v ' und V " in dieser Clique, und entfernt den Rand zwischen ihnen. Als nächstes verbinde v 1 mit v ' und v 2kGG1G2v∈V(G)v1v2k+2vv′v′′v1v′v2zu . Sei C ( v ) diese Komponente für v .v′′C(v)v
Wiederholen Sie dies für alle Eckpunkte von und lassen Sie H den resultierenden Graphen bezeichnen.GH
Der Graph ist eindeutig k + 1 regulär. Wir behaupten, dass H genau dann Hamilton ist, wenn G Hamilton ist.Hk+1HG
Eine Richtung ist klar. Bei einem Hambiltonschen Zyklus in können wir ihn in einen Zyklus in H übersetzen . Tatsächlich interpretieren wir einen Zyklus, der einen Scheitelpunkt v besucht , so, dass er sich von v 1 nach v 2 (oder umgekehrt) bewegt, während alle Scheitelpunkte in C ( v ) besucht werden . Als solches Dies resultiert in einem Hamilton - Operator - Zyklus in H . (Beachten Sie, dass wir hier die Tatsache verwenden, dass die ursprüngliche Anzahl der Eckpunkte gerade ist - wenn der Zyklus ungerade ist, bricht dies zusammen.)GHvv1v2C(v)H
Was die andere Richtung, hält einen Hamiltonschen Kreis in . Es muss sein, dass C ( v ) von einem Teil des Zyklus besucht wird, der in v 1 beginnt , alle Eckpunkte von C ( v ) besucht und von v 2 (oder der symmetrischen Option) abreist. Tatsächlich kann der Hamilton-Zyklus nicht von demselben v i aus betreten und verlassen werden . Als solches kann ein Hamilton - Operator - Zyklus in H als natürliche Interpretation als Hamilton - Operator Zyklus in G . QED.HC(v)v1C(v)v2viHG
Zweiter Teil
Wie unten von Tsuyoshi bemerkt, hat jedes 3-reguläre Diagramm eine gerade Anzahl von Eckpunkten. Aus diesem Grund ist das Problem für ein regelmäßiges Diagramm mit einer geraden Anzahl von Scheitelpunkten schwierig . Die obige Reduktion zeigt nämlich, dass das Problem für jedes k- reguläre Diagramm schwierig ist , obwohl das resultierende Diagramm eine gerade Anzahl von Eckpunkten aufweist.3k
Wir beobachten, dass dies impliziert, dass das folgende Problem NP-schwer ist.
Aufgabe A: Entscheiden, ob ein k-regulärer Graph mit einer geraden Anzahl von Eckpunkten einen Hamilton-Zyklus hat, der durch eine bestimmte Kante e verläuft .Ge
Wenn jedoch gerade dann eine Instanz ( G , e ) erhält , können wir es auf das gewünschte Problem reduzieren. In der Tat ersetzen wir die Kante e durch eine Clique von k + 1 Eckpunkten, bevor wir eine Kante in der Clique löschen und ihre beiden Endpunkte mit den Endpunkten von e verbinden und e aus dem Diagramm entfernen . Für den neuen Graphen H gilt :k(G,e)ek+1eeH
- ist k- regulär.Hk
- ist Hamiltonian, wenn G Hamiltonian mit einem Zyklus unter Verwendung von e ist .HGe
- hat | V ( G ) | + k + 1 Eckpunkte => H hat eine ungerade Anzahl von Eckpunkten.H|V(G)|+k+1H
Beachten Sie, dass ein regelmäßiger Graph für k ungerade eine gerade Anzahl von Scheitelpunkten haben muss (zählen Sie nur die Kanten). Daher gibt es keine k- regelmäßigen Graphen mit ungerader Anzahl von Scheitelpunkten, wobei k ungerade ist.kkkk
Ergebnis
Es ist schwer zu entscheiden, ob ein regelmäßiger Graph einen Hamilton-Zyklus für k ≥ 3 hat . Das Problem bleibt NP-schwer, auch wenn der Graph eine ungerade Anzahl von Eckpunkten hat.kk≥3
Natürlich ist es immer möglich, dass ich einen dummen Fehler gemacht habe ...
Übung
Wenn wir von einem Diagramm, das regulär ist, zu einem Diagramm, das (sagen wir) 2 k- regulär ist, übergehen möchten, führt das Diagramm, das sich aus der Anwendung der obigen Reduktion ergibt, wiederholt zu einem Diagramm mit einer Größe, die exponentiell von k abhängt . Zeigen Sie, dass man mit einem k- regulären Graphen G und i > 2 einen Graphen H konstruieren kann , der ( k + i ) -regelmäßig ist und dessen Größe in k , i und n polynomisch ist , wobei n die Anzahl der Eckpunkte ist von Gk2kkkGi>2H(k+i)k,innG . Außerdem, ist genau dannHamiltonian,wenn H Hamiltonian ist.GH
(Ich poste dies als Übung, nicht als Frage, da ich weiß, wie ich das lösen kann.)