Wie viele Permutationen von


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Betrachten Sie eine Permutation von [ 1 .. n ] . Eine Inversion ist als ein Paar ( i , j ) von Indizes definiert, so dass i < j und σ ( i ) > σ ( j ) .σ[1..n](i,j)i<jσ(i)>σ(j)

Definieren Sie als die Anzahl der Permutationen von [ 1 .. n ] mit höchstens k Inversionen.Ak[1..n]k

Frage: Was ist die enge asymptotische Grenze für ?Ak

Zuvor wurde eine verwandte Frage gestellt: Anzahl der Permutationen, die den gleichen Kendall-Tau-Abstand haben

Die obige Frage betraf jedoch die Berechnung von . Sie kann mit dynamischer Programmierung berechnet werden, da sie die hier gezeigte Wiederholungsrelation erfüllt: /programming/948341/dynamic-programming-number-of-ways-to-get-at-stest-n-bubble -SortentauschAk

Die Anzahl der Permutationen mit genau Inversionen wurde ebenfalls untersucht und kann als generierende Funktion ausgedrückt werden: http://en.wikipedia.org/wiki/Permutation#Inversionsk

Aber ich kann keine geschlossene Formel oder keine asymptotische Bindung finden.


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Wenn Sie ein generierendes Polynom für eine Sequenz haben, können Sie das generierende Polynom für die Präfixsummen ableiten, indem Sie das Polynom einfach mit multiplizieren . In Ihrem Fall würden Sie das Polynom verwenden, mit dem Sie verknüpft haben, um die genau k-Inversionen zu berechnen. 1/(1x)
Suresh Venkat


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@SureshVenkat Danke für den Tipp. Aber ich werde immer noch feststecken, wenn ich den Koeffizienten von in diesem wirklich komplizierten Polynom in Bezug auf n und k finde, und ich verstehe nicht, wie ich das machen soll. xknk
Vinayak Pathak

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Um den Koeffizienten von , nimm die k- te Ableitung des erzeugenden Polynoms und bewerte sie mit x = 0 . xkkx=0
Sasho Nikolov

Antworten:


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Laut Wikipedia ist die Anzahl der Permutationen in mit genau k Inversionen der Koeffizient von X k in 1 ( 1 + X ) ( 1 + X + X 2 ) ( 1 + X + + X n - 1 ) . Bezeichne dies mit c ( n , k ) . Dies zeigt, dass c ( n + 1 ,SnkXk

1(1+X)(1+X+X2)(1+X++Xn1).
c(n,k) Sodie Anzahl von Permutationen in S n mit höchstens k Inversionen ist auf die Anzahl von Permutationen in gleich S n + 1 mit genau k Inversionen. Dies hat auch einen ordentlichen kombinatorischen Beweis (Hinweis: nimm π S n + 1 und entferne n + 1 ).
c(n+1,k)=l=0kc(n,kl).
SnkSn+1kπSn+1n+1

XkXmm>kn>kc(n,k)Xk

1(1+X)(1+X++Xk1)(1+X++Xk+)nk=1(1+X)(1+X++Xk1)1(1X)nk=1(1+X)(1+X++Xk1)t=0(t+nk1t)Xt.
c(n,k)=t=0k(n+tk1t)c(k,kt),n>k.

Wenn konstant ist, ist der asymptotisch wichtigste Term derjenige, der , und wir haben Die gleichen asymptotischen Eigenschaften gelten für , nach denen Sie gesucht haben.kt=k

c(n,k)=(n1k)+Ok(nk1)=1k!nk+Ok(nk1).
c(n+1,k)

Bei nicht konstantem nimmt die Verwendung der Tatsache, dass in underhalten wir die Grenzen Bessere Grenzen sind sicherlich möglich, aber das überlasse ich Ihnen.k(n+tk1t)=(n+tk1nk1)tt=0kc(k,t)k!

(n1k)c(n,k)k!(n1k).

Mit Stirlings Approximation und den Binomialgrenzen können wir den letzten Ausdruck zu vereinfachen so . Dies ist natürlich nicht eng, aber es ist eine elegantere Grenze, als ich von diesen Annäherungen erwarten würde. c(n,k)k!(n1k)ekk+1/2ek(e(n1)/k)kc(n,k)ek(n1)k
SamM
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