Diagramme, in denen jedes minimale Trennzeichen eine unabhängige Menge ist

Hintergrund: Sei zwei Eckpunkte eines ungerichteten Graphen . Eine Vertexmenge ist ein Trennzeichen, wenn und zu verschiedenen verbundenen Komponenten von . Wenn keine geeignete Teilmenge eines Trennzeichens ein Trennzeichen ist, dann ist ein minimaler Trennzeichen. Ein Eckpunkt ist ein (minimaler) separator Existiert Vertices , so dass a (minimal) ist -separator.G = ( V , E ) S · V u , v u v G - S u , v S u , v $u, v$$G=(V,E)$$S\subseteq V$$u,v$$u$$v$$G-S$$u,v$$S$$u,v$$S$$u,v$$S\subseteq V$$u, v$$S$$u,v$

Ein bekanntes Theorem von G. Dirac besagt, dass ein Graph nur dann keine induzierten Zyklen mit einer Länge von mindestens vier (triangulierte oder akkordische Graphen genannt) hat, wenn jeder seiner minimalen Separatoren eine Clique ist. Es ist auch bekannt, dass triangulierte Graphen in Polynomzeit erkannt werden können.

Meine Fragen: Was sind Graphen, in denen jedes minimale Trennzeichen eine unabhängige Menge ist? Werden diese Grafiken untersucht? Und wie komplex ist die Erkennungskomplexität dieser Diagramme? Beispiele für solche Diagramme sind Bäume und Zyklen.

Ihre Grafiken wurden durch dieses Dokument http://arxiv.org/pdf/1103.2913.pdf charakterisiert .

Bearbeiten: In der obigen Abhandlung wird bewiesen, dass Graphen, in denen jedes minimale Trennzeichen eine unabhängige Menge ist, genau solche sind, die keinen Zyklus mit genau einem Akkord enthalten.

Graphen, die keinen Zyklus mit genau einem Akkord enthalten, wurden von Trotignon und Vuskovic, Ein Struktursatz für Graphen ohne Zyklus mit einem eindeutigen Akkord und seinen Konsequenzen , J. Graph Theory 63 (2010) 31-67 DOI, eingehend untersucht . Infolge dieser Arbeit können diese Graphen in Polynomzeit erkannt werden. (In diesem Artikel wurde jedoch nicht auf die Verbindung zu unabhängigen Mindesttrennzeichen hingewiesen!)

Bearbeiten (17. September 2013): In jüngster Zeit (siehe hier ) beschreibt Terry Mckee alle Diagramme, in denen jedes minimale Eckpunkttrennzeichen eine Clique oder eine unabhängige Menge ist. Es stellt sich heraus, dass dies die Kantensummen von Akkorddiagrammen und Diagrammen sind, in denen jeder minimale Scheitelpunkttrenner eine unabhängige Menge ist.

Scheinbar erschien die früheste Charakterisierung der Graphen, in denen jedes minimale Trennzeichen eine unabhängige Menge ist, in TA McKee, "Independent Separator Graphs", Utilitas Mathematica 73 (2007) 217-224. Dies sind genau die Graphen, in denen kein Zyklus einen eindeutigen Akkord hat (oder äquivalent, in denen in jedem Zyklus jeder Akkord einen Kreuzungsakkord hat).

Es gibt zwei neue Arbeiten zu Graphen ohne Zyklus mit genau einem Akkord. Beide behandeln hauptsächlich das Ausmalen dieser Grafiken: http://arxiv.org/abs/1309.2749 und http://arxiv.org/abs/1311.1928 .

$O(m^2n)$$O(mn)$