Finden des nächsten Paares zwischen zwei Punktmengen auf dem Hyperwürfel

Bei zwei Teilmengen des dimensionalen Hyperwürfels (dh ) suche ich nach einem Algorithmus, der die Punkte st der Hamming-Distanz (oder -) abruft Abstand auf dem Hyperwürfel) ist minimal. Der naive Algorithmus, der nur jedes Paar überprüft, benötigt $d$ $M, N \subseteq \{0,1\}^d$ $m\in M, n\in N$ $L_1$ $d_H(m,n)$ $|M|\cdot |N| \cdot d$ Zeit, gibt es ein besseres Ergebnis bekannt?

Der Einfachheit halber können wir annehmen, dass . $|M|=|N|=d$

cg.comp-geom

— HdM
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Hmmm. Gibt es noch mehr Motivation / Bewerbung? Ich vermute, es gibt ein mehrdimensionales Analogon zu diesem euklidischen / planaren Algorithmus, aber Wikipedia zitiert nichts und hat an keiner anderen Stelle davon gehört. Es könnte hilfreich sein, nach einem Algorithmus für n-dim-Vektoren zu suchen. Der Anfang des Artikels scheint zu behaupten, dass er in

für höhere Dimensionen

gelöst werden kann , gibt aber kein Zitat an. vielleicht irgendwo in den refs?

O (n \log n)

$O(n \log n)$

d > 2

$d>2$

— vzn

Das Divide and Conquer-Argument beruht auf einer Packungsbindung. In höheren Dimensionen führt dies einen

Faktor in die Wiederholung ein, aber die Abhängigkeit von

bleibt gleich. Wenn es Ihnen also nichts ausmacht, in

exponentielle Begriffe zu verwenden , können Sie diesen Ansatz verwenden. Wenn Sie etwas Genaues wollen, ist es unwahrscheinlich, dass Sie es besser machen können.

2^{d}

$2^d$

n

$n$

d

$d$

— Suresh Venkat

siehe auch Suche nach dem nächsten Nachbarn

— vzn

Dies scheint unwahrscheinlich. Denken Sie an n + m zufällige Zeichenfolgen im Hypercube. Irgendwie beträgt der Hamming-Abstand jedes Paares ungefähr d / 2, und Sie müssen alle Paare überprüfen, um das nächste Paar zu finden.

— Sariel Har-Peled

@Sariel Har-Peled: Wie Suresh schrieb, kann das Problem in der Zeit O (n log n) (wobei n = max {| M |, | N |}) für jede Konstante d gelöst werden. Daher klingt "Ich muss alle Paare überprüfen, um das nächste Paar zu finden" für mich nicht richtig.

— Tsuyoshi Ito

$|M|=|N|=d$ $M$ $X$ $N$ $Y$ $Y$ $Z=XY$ $z_{i,j}$ $i$ $M$ $j$ $N$ $O(d^{2.3727})$ $O(d^{2.3726999999})$

Sie können einen ähnlichen Effekt erzielen, wenn die Matrizen keine Quadrate sind. Ich denke, Uri Zwick hat ein Papier über schnelle Matrixmultiplikation in diesem Fall.

$O(|M| * |N|)$ $d$

— Sariel Har-Peled
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Toller Fund. In einem anderen Punkt hat ein Kollege von mir dieses Papier gefunden: toc.cse.iitk.ac.in/articles/v008a014/v008a014.pdf und erst jetzt merke ich, dass es (auch) von Ihnen geschrieben wurde. Seite 17+ ist besonders interessant ..

— HdM

Ja.

— Kommt mir