Sollten wir

Viele Experten glauben, dass die Vermutung wahr ist, und verwenden sie für ihre Ergebnisse. Meine Sorge ist, dass die Komplexität stark von der P ≠ N P- Vermutung abhängt .$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

Meine Frage lautet also:

Kann / sollte man die Vermutung, solange sie nicht bewiesen ist, als Naturgesetz betrachten, wie im Zitat von Strassen angegeben? Oder sollten wir es als eine mathematische Vermutung behandeln, die eines Tages vielleicht bewiesen oder widerlegt wird?$\mathsf{P}\neq\mathsf{NP}$

Zitat:

"Die Beweise für die Hypothesen von Cook und Valiant sind so überwältigend, und die Folgen ihres Scheiterns sind so grotesk, dass ihr Status vielleicht eher mit dem von physikalischen Gesetzen verglichen werden kann als mit dem von gewöhnlichen mathematischen Vermutungen."

[Volker Straßens Laudatio auf die Nevanlinna-Preisträgerin Leslie G. Valian, 1986]

Ich stelle diese Frage beim Lesen des Beitrags Physics results in TCS? . Es ist vielleicht interessant festzustellen, dass die rechnerische Komplexität Ähnlichkeiten mit der (theoretischen) Physik aufweist: Viele wichtige Komplexitätsergebnisse wurden durch die Annahme von bewiesen , während in der theoretischen Physik die Ergebnisse durch die Annahme einiger physikalischer Gesetze bewiesen werden$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$ . In diesem Sinne kann als E = m c 2 betrachtet werden . Zurück zu den Physikergebnissen in TCS? :$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$E = mc^2$

Könnte (ein Teil von) TCS ein Zweig der Naturwissenschaften sein?

Klärung:

(Siehe Sureshs Antwort unten)

Ist es legitim , zu sagen , dass die Vermutung in der Komplexitätstheorie ist so grundlegend wie ein physikalischen Gesetze in der theoretischen Physik (wie Strassen , sagte)?$\mathsf{P}\neq\mathsf{NP}$

Die Aussage von Strassen muss in einen Kontext gestellt werden. Dies war eine Ansprache an ein Publikum von Mathematikern im Jahr 1986, als viele Mathematiker keine hohe Meinung von theoretischer Informatik hatten. Die vollständige Aussage ist

Für einige von Ihnen scheint es, dass die hier diskutierten Theorien auf schwachen Grundlagen beruhen. Sie nicht. Die Beweise für die Hypothesen von Cook und Valiant sind so überwältigend, und die Folgen ihres Scheiterns sind so grotesk, dass ihr Status vielleicht eher mit dem von physikalischen Gesetzen als mit dem von gewöhnlichen mathematischen Vermutungen verglichen werden kann.

Ich bin mir sicher, dass Strassen Gespräche mit reinen Mathematikern geführt hatte, die etwas in der Art von sagten

$\neq$

$\neq$

$\neq$

Dennoch wäre ein traditioneller Beweis von großem Interesse, und es scheint mir, dass die Hypothese von Valiant leichter zu bestätigen ist als die von Cook ...

Vielleicht würde ich es als "Arbeitshypothese" und nicht als "physikalisches Gesetz" bezeichnen.

Lassen Sie mich abschließend festhalten, dass auch Mathematiker solche Arbeitshypothesen verwenden. Es gibt eine große Anzahl von mathematischen Arbeiten, die Theoreme beweisen, deren Aussagen lauten: "Unter der Annahme, dass die Riemann-Hypothese wahr ist, dann ...".

Ich kann drei verwandte Arten sehen, die Frage zu verstehen:

$NP \ne P$

$NP \ne P$

$NP \ne P$

Ich denke, dass es gute Gründe gibt, auf all diese drei Fragen mit "Ja" oder "Qualifiziertes Ja" zu antworten.

Ich bin mir nicht sicher ob ich das verstehe. Ein physikalisches Gesetz (von der Art, die Sie angeben) ist ein mathematischer Ausdruck eines Modells (in diesem Beispiel Relativität), das behauptet, die Realität einzufangen. Ein physikalisches Gesetz kann als falsch erwiesen werden, wenn die zugrunde liegende Mathematik falsch ist, aber es kann auch falsch sein, wenn sich das zugrunde liegende Modell ändert (zum Beispiel die Newtonsche Mechanik). P vs NP ist eine spezifische mathematische Vermutung, die wahr oder falsch ist (und beweisbar ist oder nicht)

So beantworten Sie Ihre ursprüngliche Frage:

$P \ne NP$

"Die Annahme der NP-Härte ?: Es gibt keine physikalischen Mittel, um NP-vollständige Probleme in der Polynomzeit zu lösen."

Er hielt einen schönen Vortrag an der Universität von Waterloo mit dem Titel Computational Intractability As A Law of Physics

$NL\neq PSPACE$$NP\neq coNP$$P\neq NP$

$\phi$$\phi$

Sie können eine Vielzahl von Experimenten mit Geschwindigkeiten und Geschwindigkeiten durchführen, und Sie erhalten überwältigende Beweise für die Validierung der Newtonschen Gesetze. Natürlich werden Sie in ganz bestimmten Experimenten einige sehr seltsame Dinge sehen, wie die Lichtgeschwindigkeit in fließendem Wasser oder einige astronomische Ereignisse. Aber Ihre überwältigenden Beweise werden Ihnen sagen: Newton hat Recht und diese Gesetze sind das, was Sie brauchen

Natürlich "hat Newton nicht Recht" und Einstein folgte ihm.

Für P = NP können wir viele Beispiele sehen, bei denen P seems NP zu sein scheint. Aber in bestimmten Fällen haben wir seltsame Dinge. Wenn P ≠ NP, gibt es eine unendliche Anzahl von Klassen zwischen ihnen, so dass wir einige Probleme in NP finden sollten, die nicht in P, aber nicht NP-vollständig sind. Wir kennen keine von ihnen, und die meisten Kandidaten waren nachweislich in P.

Was Sie über dieses Problem denken, hängt davon ab, wohin Sie schauen möchten. Es würde mich nicht wundern, wenn P = NP wäre.