Stärkere Vorstellungen von Uniformierungen?

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Eine Lücke, die mir immer bewusst war und die ich nicht wirklich verstehe, ist die zwischen ungleichmäßiger und gleichmäßiger Rechenkomplexität, wobei die Schaltungskomplexität die ungleichmäßige Version darstellt und Turing-Maschinen dort, wo die Dinge gleichförmig sind. Ich nehme an, "Uniform" ist eine Möglichkeit, die Klasse der Algorithmen einzuschränken, z. B. eine völlig andere Schaltung für ein Problem mit n Variablen zuzulassen als für ein Problem mit n + 1 Variablen.

Meine Fragen sind: 1) Es gibt eine Beschreibung der Gleichförmigkeit nur in Form von Schaltkreisen, und 2) Ist es möglich, eine noch stärkere Form der Gleichförmigkeit zu erhalten und somit eine noch engere Vorstellung davon zu geben, in welchen effektiven (oder eingeschränkten) Algorithmen P sind?

Späte Klärung: Meine Absicht in Frage 2 betrifft eine eingeschränkte Klasse von Algorithmen, die "praktisch" dieselbe Leistung hat wie die Klasse von Polynomalgorithmen.

cc.complexity-theory circuit-complexity

— Gil Kalai
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Können Sie die Bedeutung von "praktisch dieselbe Kraft haben" näher erläutern?

— MS Dousti

Ich meine, dass alle Algorithmen in P, denen wir praktisch begegnen, in dieser (hypothetischen) eingeschränkten Klasse sind. Damit meine ich nicht, dass Klassen, von denen bekannt ist (oder vermutet wird), dass sie einen bestimmten Algorithmus vom Typ Polynom wie AC_0 oder NC weglassen, nicht das sind, worauf ich mich beziehe.

— Gil Kalai

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Für Frage 2 ist die Klasse von Funktionen, die von LOGSPACE-gleichförmigen Schaltkreisen mit Polynomgröße berechnet werden können, P. (Und Sie werden auch bei einigen Komplexitätsklassen, die kleiner als LOGSPACE sind, immer noch P erhalten, wenn Sie die Gleichmäßigkeit richtig definieren.) Reduzieren Sie im Allgemeinen die Leistung von Polynomialzeit-Algorithmen.

— Peter Shor

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Ich denke, die Antwort auf Ihre erste Frage ist negativ: Ein Stromkreis hat eine feste Anzahl von Eingängen, und daher können wir, IMO, nur über "Familien" von Stromkreisen sprechen, und nicht nur über einen einheitlichen Stromkreis.

In Bezug auf Ihre zweite Frage können Sie feststellen, dass es "einheitliche Schaltkreisfamilien" gibt, deren Beschreibung von einer Turing-Maschine generiert wird. Das heißt, sei eine einheitliche Schaltkreisfamilie und sei eine Turing-Maschine. Dann wird für jedes , , wobei die Beschreibung bezeichnet . $\{C_n\}$ $M$ $n$ $[C_n] = M(1^n)$ $[C_n]$ $C_n$

Unter P gibt es mehrere Komplexitätsklassen, die durch einheitliche Schaltkreisfamilien definiert sind. Beispielsweise:

$\mathbf{NC}^i$ ist die Klasse von Entscheidungsproblemen, die durch einheitliche Boolesche Schaltkreise mit einer polynomiellen Anzahl von Gattern und einer Tiefe . $O(\log^i n)$

— MS Dousti
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Wenn man zu Sadeqs oben stehender Antwort die in P enthaltenen Schaltungsklassen hinzuzählt, möchte man vielleicht auch immer restriktivere Begriffe von Gleichförmigkeit betrachten.

Der einfachste und bekannteste Begriff ist die P-Gleichförmigkeit. Dies ist die Voraussetzung dafür, dass es eine (deterministische) Turing-Maschine M gibt, die die Schaltung erzeugt $C_n$ Dies in der Zeit poly (n) erzeugt (Suresh spricht auch davon). Die restriktiveren Versionen der Gleichförmigkeit versuchen, die Leistung von M weiter einzuschränken. Zum Beispiel gibt es auch eine Logspace-Einheitlichkeit, bei der M jetzt im Raum O (log (n)) ausgeführt werden muss.

Der restriktivste Begriff, den ich kenne, ist die DLOGTIME-Uniformität, die für kleine Schaltungsklassen verwendet wird. Hier hat die (jetzt wahlfreie) Maschine M nur die Zeit O (log n) und kann daher möglicherweise nicht die Beschreibung der gesamten Schaltung aufschreiben. Die auferlegte Bedingung ist, dass bei gegebenem i und n M das i-te Bit der Beschreibung der Schaltung in der Zeit O (log n) aufschreiben kann.

Weitere Informationen finden Sie in folgendem Artikel: David A. Mix Barrington, Neil Immerman und Howard Straubing: Zur Homogenität innerhalb von NC¹. J. Comput. Syst. Sci. 41 (3): 274 & ndash; 306 (1990).

— Srikanth
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Link zum Artikel

— Suresh Venkat

Wenn M das i-te Bit der Schaltkreisbeschreibung in O (log n) schreiben wird, bedeutet dies nicht, dass die Maschine das erzeugen kann, wenn der Schaltkreis die Größe O (n) hat gesamter Stromkreis in O (n log n)?

— M. Alaggan

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O (n)

$O(n)$

O (n \log n)

$O(n\log n)$

i

$i$

n

$n$

i

$i$

C_{n}

$C_n$

O (\log n)

$O(\log n)$

— Srikanth

i

$i$

n

$n$

i

$i$

O (1)

$O(1)$

O (n \log n)

$O(n \log n)$

Der Punkt ist nicht, dass X-einheitliche Familien von Schaltkreisen die gleichen Mengen von Familien für verschiedene X ergeben, sondern dass die Funktionen, die von X-einheitlichen Familien von Schaltkreisen berechnet werden können, für verschiedene X gleich sind.

— Peter Shor

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$n$ $C_n$

— Suresh Venkat
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Ein LOGSPACE-Generator für die Rennstrecke funktioniert auch einwandfrei, um P.

— Peter Shor

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Gibt es eine Beschreibung der Gleichmäßigkeit nur in Bezug auf Schaltungen?

$1$ $f(|x|)$ $f$

$FO$ $DLogTime$ $AC^0$ $FO$

Mir scheint, dass der Hauptpunkt hier darin besteht, dass wir ein einheitliches Berechnungsmodell benötigen, um die Einheitlichkeit für Schaltungen zu definieren. Wenn die Beschreibung von Schaltungen mit nicht einheitlichen Mitteln erfolgt, können die Schaltungen ungleichmäßig sein.

— Kaveh
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O (1)

$O(1)$

A l t T i m e (O (1), O (\lg n))

$AltTime(O(1),O(\lg n))$

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1) Gibt es eine Beschreibung der Einheitlichkeit nur in Bezug auf Schaltkreise?

[Dies ist eine bearbeitete Version meiner Antwort auf dieselbe Frage, die Sie im Blog von Dick Lipton gestellt haben. Einschränkung: Ich bin kein Experte.]

Ja (denke ich), von mindestens zwei verschiedenen Arten:

a) Die Schaltungen können von einer Turing-Maschine in polynomialer Zeit in der Problemeingabegröße erzeugt werden (wie in einigen anderen Antworten erwähnt). (Ich denke, das ist die Standarddefinition des Konzepts.)

Dies deckt alle Schaltkreisfamilien ab, die wir als einheitlich bezeichnen möchten. Als Definition des Konzepts der P-Zeit reduziert es jedoch die Definition von Schaltkreisfamilien auf die Definition von Turing-Maschinen, die möglicherweise nicht Ihren Wünschen entspricht.

b) Wenn es einen eindimensionalen zellularen Automaten gibt, der die Problemeingabe in die Problemlösung umwandelt (für ein Entscheidungsproblem wäre die Lösung ein einzelnes Bit in einer bestimmten Zelle relativ zu den Zellen, die die Eingabe enthalten, was ein stabiler Zustand ist der CA), in Polynomzeit in Eingangsgröße, dann entspricht dies einer Schaltung, die auf einfache Weise in 2D periodisch ist (eine Wiederholungseinheit pro Zelle pro Zeiteinheit) und deren Zustand nur in einem quadratisch großen relativen Bereich von Bedeutung ist zur Lösungszeit.

Dies ist eine sehr spezielle Art von einheitlicher Schaltkreisfamilie, die jedoch ausreicht, um alle Probleme in P zu lösen, da eine Turing-Maschine leicht als 1D-CA codiert werden kann. (Dies scheint auch der Definition der DLOGTIME-Einheitlichkeit zu entsprechen, die in einer früheren Antwort erwähnt wurde.)

(Dies ähnelt den Codierungen von Turing-Maschinen, wie sie in Gowers 'Antworten auf Liptons Blog erwähnt wurden - tatsächlich ist wahrscheinlich eine davon identisch.)

Eine Möglichkeit, eine Turing-Maschine als 1D-Zertifizierungsstelle zu codieren: In jeder Zelle wird der Bandstatus an einem Punkt dargestellt, der Status, den der Turing-Maschinenkopf hätte, wenn er jetzt hier wäre (dessen Wert spielt keine Rolle, wenn er nicht hier ist). und ein bisschen sagen, ob der Kopf jetzt hier ist. Es ist klar, dass jeder solche Zustand zum Zeitpunkt t nur von seinen unmittelbaren Nachbarschaftszuständen zum Zeitpunkt t-1 abhängt. Dies ist alles, was wir brauchen, um als CA zu arbeiten.