Kirchentheorem und Gödels Unvollständigkeitstheoreme

Ich habe vor kurzem einige der Ideen und die Geschichte der bahnbrechenden Arbeit gelesen, die verschiedene Logik- und Mathematiker in Bezug auf die Berechenbarkeit geleistet haben. Während mir die einzelnen Konzepte ziemlich klar sind, versuche ich, die Zusammenhänge und die abstrakte Ebene, auf der sie alle miteinander verbunden sind, klar zu erfassen.

Wir wissen, dass der Satz von Church (oder vielmehr die unabhängigen Beweise für Hilberts Entscheidungsproblem von Alonzo Church und Alan Turing) bewiesen hat, dass wir im Allgemeinen nicht berechnen können, ob eine bestimmte mathematische Aussage in einem formalen System wahr oder falsch ist. Soweit ich weiß, liefert die Church-Turing-These eine ziemlich klare Beschreibung der Äquivalenz (Isomorphie) zwischen der Lambda-Rechnung von Church und Turing-Maschinen, sodass wir effektiv ein einheitliches Modell für die Berechenbarkeit haben. (Anmerkung: Soweit ich weiß, macht sich Turings Beweis die Tatsache zunutze, dass das Stopp-Problem nicht zu entscheiden ist. Korrigieren Sie mich, wenn ich falsch liege.)

Der erste Unvollständigkeitssatz von Gödel besagt nun, dass nicht alle Aussagen in einem konsistenten formalen System mit ausreichender Rechenleistung innerhalb dieses Systems bewiesen oder widerlegt (entschieden) werden können. In vielerlei Hinsicht scheint mir dies genau dasselbe zu sagen wie die Sätze der Kirche, wenn man bedenkt, dass Lambda-Kalkül und Drehmaschinen beide effektiv formale Systeme sind!

Dies ist jedoch meine ganzheitliche Interpretation, und ich hatte gehofft, dass jemand etwas Licht in die Details bringen könnte. Sind diese beiden Sätze effektiv gleichwertig? Gibt es irgendwelche Feinheiten zu beachten? Wenn diese Theorien im Wesentlichen dieselbe universelle Wahrheit auf unterschiedliche Weise betrachten, warum wurden sie dann aus so unterschiedlichen Blickwinkeln betrachtet? (Zwischen Godels und Churchs Beweis lagen ungefähr 6 Jahre.) Abschließend kann man im Wesentlichen sagen, dass der Begriff der Beweisbarkeit in einem formalen System (Beweiskalkül) mit dem Begriff der Berechenbarkeit in der Rekursionstheorie (Turingmaschinen / Lambda-Kalkül) identisch ist ?

Zunächst empfehle ich Ihnen, Kleenes "Metamathematik" als gutes Buch zu diesen Themen zu lesen. Die ersten beiden Kapitel von Band I von Odifreddis "Klassische Rekursionstheorie" können ebenfalls hilfreich sein, um die Beziehung zwischen diesen Begriffen zu verstehen.

Wir wissen, dass der Satz von Church (oder vielmehr die unabhängigen Beweise für Hilberts Entscheidungsproblem von Alonzo Church und Alan Turing) bewiesen hat, dass wir im Allgemeinen nicht berechnen können, ob eine bestimmte mathematische Aussage in einem formalen System wahr oder falsch ist.

Ich denke, Sie beziehen sich auf den Satz der Kirche, dass die Menge der Sätze der Logik erster Ordnung nicht entscheidbar ist. Es ist wichtig zu beachten, dass die Sprache erste Ordnung ist.

Soweit ich weiß, liefert die Church-Turing-These eine ziemlich klare Beschreibung der Äquivalenz (Isomorphie) zwischen der Lambda-Rechnung von Church und Turing-Maschinen, sodass wir effektiv ein einheitliches Modell für die Berechenbarkeit haben.

Nein. Die Äquivalenz von Lambda-Berechenbarkeit und Turing-Berechenbarkeit ist ein Satz von Kleene. Es ist keine These. Es gilt als Beleg für die These der Kirche.

Anmerkung: Soweit ich weiß, macht sich Turings Beweis die Tatsache zunutze, dass das Stopp-Problem nicht zu entscheiden ist. Korrigiere mich, wenn ich falsch liege.

Nun besagt Gödels erster Unvollständigkeitssatz, dass nicht alle Aussagen in einem konsistenten formalen System innerhalb dieses Systems bewiesen werden können. In vielerlei Hinsicht scheint mir dies genau dasselbe zu sagen wie die Sätze der Kirche, wenn man bedenkt, dass Lambda-Kalkül und Drehmaschinen beide effektiv formale Systeme sind!

$\omega$$\varphi$$\varphi$$\lnot \varphi$

Dies sagt nicht dasselbe aus. Es sagt nichts darüber aus, dass Sätze der Theorie unentscheidbar sind.

Dies ist jedoch meine ganzheitliche Interpretation, und ich hatte gehofft, dass jemand etwas Licht in die Details bringen könnte. Sind diese beiden Sätze effektiv gleichwertig? Gibt es irgendwelche Feinheiten zu beachten? Wenn diese Theorien im Wesentlichen dieselbe universelle Wahrheit auf unterschiedliche Weise betrachten, warum wurden sie dann aus so unterschiedlichen Blickwinkeln betrachtet? (Zwischen Godels und Churchs Beweis lagen ungefähr 6 Jahre.)

Über die Jahre hat es viele Missbräuche von Godels Theoremen (und ähnlichen Theoremen) gegeben. Man sollte sehr vorsichtig sein, wenn man sie interpretiert. Soweit ich gesehen habe, resultieren die Missbräuche gewöhnlich aus dem Vergessen, eine Bedingung im Theorem zu erwähnen oder die Theoreme durch andere Überzeugungen zu kombinieren. Ein genauerer Blick zeigt, dass diese Theoreme, obwohl sie verwandt sind, nicht gleichwertig sind.

Abschließend kann man im Wesentlichen sagen, dass der Begriff der Beweisbarkeit in einem formalen System (Beweiskalkül) mit dem Begriff der Berechenbarkeit in der Rekursionstheorie (Turingmaschinen / Lambda-Kalkül) identisch ist?

Ich verstehe nicht, was du mit "identisch" meinst. Sicher gibt es viele Beziehungen zwischen Berechenbarkeit und Beweisbarkeit. Ich kann möglicherweise einen hilfreicheren Kommentar abgeben, wenn Sie klarstellen, was Sie damit meinen, dass diese identisch sind.

aktualisieren

$L$$T$$Thm(T)$$T$$\lnot Thm(T)$$T$$True$$False$$True$$False$$L = True \cup False$

$Thm(T) \cup \lnot Thm(T)$$L$$T$

$Thm(T)$$Thm(T)$

Zum Verhältnis von Beweisbarkeit im formalen System und Berechenbarkeit. Eines ist das Folgende: Wenn das System effektiv ist, dann ist die Menge des ableitbaren Ausdrucks in ihm wieder und das System ist ein Spezialfall einer Grammatik. Grammatiken sind eine weitere Möglichkeit, das Konzept der Berechenbarkeit zu definieren, das der Berechenbarkeit von Turing-Maschinen entspricht.

Kann man im Wesentlichen sagen, dass der Begriff der Beweisbarkeit in einem formalen System (Beweiskalkül) mit dem Begriff der Berechenbarkeit in der Rekursionstheorie (Turingmaschinen / Lambda-Kalkül) identisch ist?

Diese sind sehr ähnlich, aber nicht identisch, da einige der Schritte im Beweiskalkül möglicherweise nicht berechenbare Operationen darstellen.

$ZFC$$\wp(N)$

In ähnlicher Weise sagt uns Gödels Vollständigkeitssatz, dass jede gültige Formel in der Logik erster Ordnung einen Beweis hat, aber Trakhtenbrots Satz sagt uns, dass über endliche Modelle die Gültigkeit von Formeln erster Ordnung nicht zu entscheiden ist.

Endliche Beweise müssen also nicht unbedingt berechenbaren Operationen entsprechen.

Dies ist zwar nicht ganz das, wonach Sie fragen, aber es ist in der gleichen Weise und hoffentlich werden Sie (und andere Leser Ihrer Frage) es von Interesse finden. Lesen Sie auf jeden Fall die Curry-Howard-Korrespondenz , die besagt, dass die Kategorie der Programme in gewissem Sinne isomorph zur Kategorie der konstruktiven Beweise ist. (Hier geht es um Beweise und Berechenbarkeit auf einer anderen Ebene als bei den anderen Antworten.)

Ich werde versuchen, Ihre Frage aus der Perspektive zu beantworten, die Sie einnehmen, kurz gesagt. Ich versuche auch, die beiden Sätze auf unterschiedliche Weise in Beziehung zu setzen.

Gödels erster Unvollständigkeitssatz besagt, dass es in einem konsistenten formalen System mit ausreichender Rechenleistung eine Aussage P gibt, die weder einen Beweis dafür noch einen Beweis für seine Negation gibt. Dies bedeutet nicht, dass es keinen Entscheidungsalgorithmus für die Menge der Theoreme der Theorie gibt, was auch bedeuten würde, dass weder P noch nicht P Theoreme sind. Das Theoremergebnis von Church-Turing besagt, dass ein solcher Algorithmus nicht existiert. Das ist auch der Kern der Antwort von Kaveh, ich hoffe, dass ich es klarer erklärt habe.

Ich werde jetzt versuchen zu beweisen, dass der Satz von Church-Turing den Satz von Gödel impliziert. Erklären Sie mir bitte, wo und ob ich falsch liege. Die Menge der Sätze Thm ist teilweise entscheidbar, und es wird angenommen, dass R ein Programm ist, das es erkennt (dh mit "Ja" anhält, wenn die Eingabe in Thm ist, andernfalls läuft es weiter). Verwenden wir dies, um einen neuen Algorithmus zu erstellen: Führen Sie bei gegebener Anweisung Q, um zu prüfen, ob dies beweisbar ist, R parallel für Q und nicht für Q aus, indem Sie deren Ausführung verschachteln und anhalten, wenn der erste von ihnen anhält, und "Nein" erzeugen, wenn "nicht Q" wurde bewiesen und "Ja" sonst; Dies ergibt einen berechenbaren Algorithmus. Unter der Annahme, dass alle Aussagen bewiesen oder widerlegt werden können, würde dieser Algorithmus das Entscheidungsproblem lösen, aber das ist absurd! Daher muss es eine Aussage geben, die