Kombinatoren für die primitiven rekursiven Funktionen

Es ist bekannt, dass die S- und K-Kombinatoren Turing Complete sind. Gibt es Kombinatoren, die ausreichen, um (nur) die primitiven rekursiven Funktionen zu liefern?

lo.logic computability

— NietzscheanAI
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Ist es das was du fragst? mathoverflow.net/questions/48006/…

— Andrej Bauer

Ja, aber Sie müssen typisierte Kombinatoren berücksichtigen. Das heißt, Sie müssen und die folgenden Typschemata geben: wobei und sind Metavariablen, die bei jeder Verwendung zu einem beliebigen konkreten Typ instanziiert werden können. $S$ $K$

\begin{array}{lcl} K & : & A \to B \to A \\ S & : & (A \to B \to C) \to (A \to B) \to (A \to C) \end{array}

$\begin{array}{lcl} K & : & A \to B \to A \\ S & : & (A \to B \to C) \to (A \to B) \to (A \to C) \end{array}$

A, B

$A, B$

C

$C$

Dann wollen Sie den Typ hinzufügen der natürlichen Zahlen auf die Sprache der Typen und fügen Sie die folgenden combinators: $\mathbb{N}$

\begin{array}{lcl} z & : & N \\ s u c c & : & N \to N \\ i t e r & : & N \to (N \to N) \to N \to N \end{array}

$\begin{array}{lcl} z & : & \mathbb{N} \\ succ & : & \mathbb{N} \to \mathbb{N} \\ iter & : & \mathbb{N} \to (\mathbb{N} \to \mathbb{N}) \to \mathbb{N} \to \mathbb{N} \end{array}$

Die Gleichheitsregeln für die Zusätze sind:

\begin{array}{lcl} i t e r i f z & = & i \\ i t e r i f (s u c c e) & = & f (i t e r i f e) \end{array}

$\begin{array}{lcl} iter\;i\;f\;z & = & i \\ iter\;i\;f\;(succ\;e) & = & f(iter\;i\;f\;e) \end{array}$

\begin{array}{lcl} i t e r & : & A \to (A \to A) \to N \to A \end{array}

$\begin{array}{lcl} iter & : & A \to (A \to A) \to \mathbb{N} \to A \end{array}$

i t e r

$iter$

$\mathit{iter}$

\begin{array}{lcl} p r e d^{'} & = & λ k . i t e r (z, z) (λ (n, n^{'}) . (s u c c n, n)) k \\ p r e d & = & λ k . s n d (p r e d^{'} k) \end{array}

$\begin{array}{lcl} pred' & = & \lambda k.\;iter \;(z, z) \; (\lambda (n, n').\; (succ\;n, n))\;k\\ pred & = & \lambda k.\;snd(pred'\;k) \end{array}$

$\mathbb{N} \simeq \mathbb{N} \times \mathbb{N}$

— Neel Krishnaswami
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Das ist also weniger als Turing-complete aufgrund der Beschränkung auf typisierte Kombinatoren? Können die Typvariablen (rekursiv) Funktionen über Typvariablen bezeichnen (z. B. A = D -> E für einige Typen D und E)?

— NietzscheanAI

S

$S$

K

$K$

Neel, danke. Würde ich zu Recht annehmen, dass es möglich ist, z, succ und iter in Bezug auf S und K über die Zahlencodierung der Kirche darzustellen?

— NietzscheanAI

0 \mapsto 0

$0\mapsto 0$

(s u c c x) \mapsto x

$(succ x)\mapsto x$

@Xoff: Die Vorgängerfunktion hat eine bekannte lineare Zeitdefinition in Bezug auf iter. Dies könnte Gegenstand einer Frage auf cs.stackexchange.com sein ...

— cody