Die gemütlichen Stadtteile "P" und "NP-hard"

Sei eine algorithmische Aufgabe. (Dies kann ein Entscheidungsproblem, ein Optimierungsproblem oder eine andere Aufgabe sein.) Nennen wir X "auf der Polynomseite", wenn die Annahme, dass X NP-hart ist, impliziert, dass die Polynom-Hieararchie zusammenbricht. Nennen wir X "auf der NP-Seite", wenn die Annahme, dass X einen Polynomalgorithmus zulässt, impliziert, dass die Polynomhierarchie zusammenbricht.$X$$X$$X$$X$$X$

Natürlich ist jedes Problem in P auf der Polynomseite und jedes Problem, das NP-hart ist, ist auf der NP-Seite. Auch Factoring (oder irgendetwas im NP-Schnittpunkt coNP) ist beispielsweise auf der Polynomseite. Der Graphisomorphismus liegt auf der Polynomseite. QUANTUM-SAMPLING ist auf der NP-Seite.

1) Ich interessiere mich für mehr Beispiele (so natürlich wie möglich) für algoritische Aufgaben auf der Polynomseite und (besonders) für mehr Beispiele auf der NP-Seite.

2) Naiv betrachtet ist die NP-Seite eine Art "Nachbarschaft" der NP-harten Probleme, und die P-Seite ist eine "Nachbarschaft von P". Ist es eine richtige Einsicht, Probleme auf der NP-Seite als "wesentlich schwieriger" im Vergleich zu Problemen auf der P-Seite zu betrachten? Oder sogar Probleme auf der NP-Seite als "moralisch NP-hart" zu betrachten?

3) (Dies mag offensichtlich sein, aber ich sehe es nicht.) Befindet sich auf beiden Seiten ein oder gibt es theoretische Gründe zu der Annahme, dass ein solches X unwahrscheinlich ist. Update Die Antwort lautet JA; siehe Yuval Filmus 'Antwort unten.$X$$X$

(Wenn diese "Seiten" sich auf tatsächliche Komplexitätsklassen beziehen und ich einige relevante Fachausdrücke oder relevante Ergebnisse vermisse, lassen Sie es mich bitte wissen.)

Aktualisieren:Es gibt mittlerweile mehrere sehr gute Antworten auf die Frage. Wie zuerst von Yuval Filmus bemerkt und erneut erwähnt, ist die Frage nicht formal und es ist eine gewisse Einschränkung des Arguments erforderlich, das zeigt, dass X auf der P-Seite / NP-Seite ist. (Andernfalls kann X die Aufgabe sein, einen beidseitigen Beweis für 0 = 1 vorzulegen.) Abgesehen davon kann es vorkommen, dass Probleme X (echt) auf der NP-Seite die Härte irgendwie erfassen Dies kann jedoch auch bei einigen Problemen auf der P-Seite der Fall sein, bei denen die Härte von SAT nachweislich (sogar geringfügig) geschwächt wird. Yuval Filmus gab eine geschwächte Version von SAT, die auf beiden Seiten ist. Andy Drucker gab (in zwei Antworten) fünf interessante Beispiele, einschließlich eines Verweises auf Schönings niedrige und hohe Hierarchien, und Scott Aaronson gab weitere interessante Beispiele, erwähnte die Frage der Invertierung einer Einwegfunktion, die nahe an der NP-Härte und dennoch auf der P-Seite liegt, und erörterte in seiner Antwort auch den interessanten Fall von QUANTUMSAMPLING. Ich habe ein altes Ergebnis dieser Art von Feige und Lund gefunden.

Die Begriffe "auf der P-Seite" und "auf der NP-Seite" und natürlich der Fragentitel ermutigen uns, uns eine "gemütliche Nachbarschaft" vorzustellen, die P umgibt, und eine andere "gemütliche Nachbarschaft", die die NP-schwierigen Probleme umgibt. Ich möchte jedoch argumentieren, dass diese beiden Stadtteile überhaupt nicht so "gemütlich" sind!

Als eine erste Beobachtung gibt es Probleme "auf der P-Seite", die "moralisch" viel näher an NP-schwer scheinen als an P. Ein Beispiel, das Gil natürlich vorwegnimmt, ist das allgemeine Problem der Invertierung von Einwegfunktionen ( je nachdem, welche Art von Kürzungen zulässig sind (siehe Bogdanov-Trevisan oder Akavia et al.).

Umgekehrt gibt es auch Probleme "auf der NP-Seite", die "willkürlich weit davon entfernt sind", NP-hart zu sein. Ein dummes Beispiel ist eine Zufallssprache L, mit der Wahrscheinlichkeit 1 über L! Denn wenn solch ein L in P ist, dann ist 0 = 1 und Mathe ist inkonsistent, und deshalb kollabiert auch PH. ;-D

(Man beachte, dass eine zufällige Sprache L auch "auf der P-Seite" ist, mit der Wahrscheinlichkeit 1 über L. Für fast alle L gilt die Eigenschaft, dass, wenn sie NP-hart sind, NP⊆BPP und PH zusammenbrechen. Und das gibt einen Beweis, viel einfacher als die Berufung auf Ladners Theorem, dass es Sprachen auf beiden "Seiten" gibt. In der Tat zeigt er, dass von der unzähligen Unendlichkeit der Sprachen "fast alle" - tatsächlich 100% - sind auf beiden Seiten!)

Das klingt nach jugendlichem Spielen, aber ich möchte eine ernsthafte Lektion daraus ziehen. Ich würde argumentieren, dass, obwohl QUANTUM SAMPLING formal "auf der NP-Seite" ist, dieses Problem kaum näher daran liegt, "moralisch NP-hart" zu sein, als es die Zufallssprache L war. Arkhipov und ich (und unabhängig Bremner-Jozsa-Shepherd) haben gezeigt, dass, wenn QUANTUM SAMPLING in P (oder besser gesagt, in SampBPP, der Klasse der polynomiell lösbaren Stichprobenprobleme) ist, P ^#P = BPP ^NP und damit das Polynom-Hierarchie bricht zusammen. Wenn Sie jedoch eine BPP-Maschine sind, bringt Sie ein Orakel für BosonSampling, soweit wir wissen, der Lösung von NP-vollständigen Problemen nicht näher als ein zufälliges Orakel. Nur wenn Sie bereits in der Lage sind, NP-vollständige Probleme zu lösen - sagen wir,^NP- Maschine - "bemerken" Sie, dass das BosonSampling-Orakel Ihre Fähigkeiten noch weiter steigert, auf #P. Aber die Eigenschaft, NP auf #P zu steigern, scheint anders zu sein als die Eigenschaft, NP-hart zu sein.

Übrigens ist ein wunderbares offenes Problem, das sich aus Gils Frage ergibt, ob BosonSampling auch "auf der P-Seite" ist. Das heißt, können wir zeigen, dass wenn NP zu BosonSampling reduziert wird, PH zusammenbricht? Während mir vielleicht etwas Offensichtliches fehlt, habe ich auf den ersten Blick keine Ahnung, wie ich so etwas beweisen kann, und ich weiß auch nicht, wie ich die stärkere Folgerung beweisen kann, dass wenn NP then BQP dann PH zusammenbricht.

Zwei Kommentare, von denen keiner eine Antwort darstellt, die jedoch einige nützliche weiterführende Informationen liefern können.

$\cap$$\cap$

http://www.informatik.hu-berlin.de/forschung/gebiete/algorithmenII/Publikationen/Abstracts/low.ps.abstr_html

$t$

http://eccc.hpi-web.de/report/1999/045/

Um es klar auszudrücken, es gibt keine wirklichen Beweise dafür, dass dieses Problem nicht NP-schwer ist oder dass es in irgendeiner Weise einfach ist. Aber es scheint ganz anders zu sein als andere schwierige Probleme in NP. Ich denke, dies ist einer der interessantesten Kandidaten für NP-Zwischenprobleme und keiner, der bekannt ist.

$X$

$M_i$$M_i$$n^{\log\log i}$$(\alpha,\beta)$

$f(n)$$f(1) = 1$$f(n)$$f(n+1)$$X_n$$(\phi,1^{|\phi|^{f(|\phi|)}})$$|\phi| \leq n$$\phi$$x$$\log n$$x \in L(M_{f(n)}) \triangle X_n$$f(n+1) = f(n)+1$$f(n+1) = f(n)$$f(n)$$n$

$X$$(\phi,1^{|\phi|^{f(|\phi|)}})$$\phi$$X = \bigcup_n X_n$

$X$$M_i$$f(n) \leq i$$n$$M_i$

$g$$X$$n^k$$X$$f(n) \longrightarrow \infty$$f(n) > k$$n \geq n_0$$g$$n_0$$(\phi,1^{|\phi|^{f(|\phi|)}})$$f$$g$

$PH$$P \neq NP$

$SAT$$NP$$SAT$$P = NP$

http://people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/2q.pdf

$SAT$$\psi$$m$$n \ll m$$\psi$$n$$m$$SAT$

In Beantwortung einer Frage von Bodlaender, Downey, Fellows und Hermelin wurde von Fortnow und Santhanam gezeigt, dass eine solche Reduzierung der Komprimierung unwahrscheinlich ist, da sie die Polyhierarchie zum Erliegen bringen würde:

http://people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/compress.pdf

Ihr Ergebnis gilt für zufällige Verkleinerungen, die einseitige Fehler zulassen. Ich habe ein entsprechendes Ergebnis für zweiseitigen Fehler in nachgewiesen

http://eccc.hpi-web.de/report/2012/112/

(Jedes dieser Papiere liefert tatsächlich stärkere und spezifischere Informationen als die oben angegebenen Ergebnisse.)

$PH$$PPAD$$PH$$A$$PPAD^A$$TFNP^A$$PH^A$

http://people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/phq.pdf

$X$$P$ $\Rightarrow$ $PH$$PH$

Ich bin auf dieses Ergebnis von Feige und Lund gestoßen, was zeigt, dass es schwierig ist, auch nur teilweise Informationen über die Permanenz einer Zufallsmatrix zu erraten, wenn die Polynomhierarchie nicht zusammenbricht.

Uriel Feige und Carsten Lund, Über die Härte der Berechnung der Permanenz zufälliger Matrizen. Computational Complexity 6 (1996/1997) 101-132.

Lassen Sie mich auch zwei weitere relevante Ergebnisse erwähnen, auf die Uri Feige mich aufmerksam gemacht hat:

Die folgenden zwei Arbeiten wenden dies im Kontext der Kernelisierung an (Algorithmen mit fester Parameterverfolgung).

Hans L. Bodländer, Rodney G. Downey, Michael R. Fellows, Danny Hermelin: Über Probleme ohne Polynomkerne. J. Comput. Syst. Sci. 75 (8): 423-434 (2009)

Lance Fortnow, Rahul Santhanam: Unmöglichkeit der Instanzkomprimierung und prägnanter PCPs für NP. J. Comput. Syst. Sci. 77 (1): 91-106 (2011)