Kleinster Satz, der nicht in einer Zusammenstellung von Sätzen enthalten ist

Gegeben als Eingabe eine ganze Zahl $n$ und ein Satz $S$ von Sätzen von Elementen von $\{1, ..., n\}$ , was die Komplexität einen Satz zu finden , $T$ von Elementen von $\{1, ..., n\}$ so, dass $T$ eine minimale Kardinalität hat und $T$ in keiner der Mengen von $S$ ? enthalten ist.

Sei und sei F = { S 1 , S 2 , … , S m } ⊆ 2 [ n ] die Familie der Eingangssätze. Sofern ich Ihre Problemformulierung nicht falsch verstanden habe, wollen wir eine Menge T ⊆ [ n ] mit einer Mindestgröße finden , bei der T ⊈ S i für alle i = 1 , $[n] = \{ 1, 2, \dotsc, n \}$$\mathcal{F} = \{S_1, S_2, \dotsc, S_m \} \subseteq 2^{[n]}$$T \subseteq [n]$$T \not\subseteq S_i$ .$i = 1, 2, \dotsc, m$

Zur Beantwortung Ihrer Frage, beachten Sie, dass , wenn und nur wenn T ∩ ( [ n ] ∖ S i ) & ne; ∅ . Das heißt, T muss das Komplement jedes S i schneiden . Dies bedeutet jedoch, dass Ihr Problem im Wesentlichen dem Schlagmengenproblem entspricht (betrachten Sie Schlagmenge mit Eingabe G = { [ n ] ∖ S i : i = 1 , 2 , … , m } ):$T \not\subseteq S_i$$T \cap ([n] \setminus S_i) \not= \emptyset$$T$$S_i$$\mathcal{G} = \{ [n] \setminus S_i \ \colon \ i = 1, 2, \dotsc, m \}$

Schlagsatz. Existiert bei einer Mengenfamilie und einer ganzen Zahl k eine Menge T ⊆ [ n ] mit | T | ≤ k und T ∩ S & ne; ∅ für alle S ∈ F ?$\mathcal{F} \subseteq 2^{[n]}$$k$$T \subseteq [n]$$|T| \le k$$T \cap S \not= \emptyset$$S \in \mathcal{F}$

Die Schlagmenge ist bekanntermaßen NP-vollständig und kann nicht schneller als in Zeit gelöst werden, es sei denn, die Hypothese der starken Exponentialzeit schlägt fehl.$O(2^n)$

Das Problem ist äquivalent zum Set Cover Problem / Hitting Set Problem:

Wenn eine Familie von Teilmengen von { 1 , … , n } gegeben ist , finde eine Menge T ⊂ { 1 , … , n } von minimaler möglicher Größe, die jede Menge in der Familie F schneidet .$\cal F$$\{1,\dots, n\}$$T \subset \{1,\dots, n\}$$\cal F$

Ihr Problem ist äquivalent zum Schlagmengenproblem, da genau dann in keiner Menge in S liegt, wenn es jede Menge in F = { ˉ A : A ∈ S } schneidet . (Um eine Instanz des Hitting-Set-Problems zu lösen, genügt es, die Instanz Ihres Problems mit S = { ˉ A : A ∈ F } zu lösen .)$T$$S$${\cal F} = \{\bar A: A\in S\}$$S = \{\bar A: A\in {\cal F}\}$

Das Schlagsatzproblem ist NP-schwer [Karp '72]. Es gibt einen -Näherungsalgorithmus und eine passende Härte des Näherungsergebnisses [Lund, Yannakakis '94, Feige '98].$O(\log n)$