Hat diese Diagrammklasse einen Namen?

Es wird formuliert, indem Schwellenwertdiagramme erweitert werden . Unter der Annahme eines Schwellenwertgraphen bei dem C die Clique und I die unabhängige Menge ist, lautet meine Erweiterung wie folgt: Jeder Scheitelpunkt v ∈ I kann durch eine neue Clique K v ersetzt werden, so dass die Scheitelpunkte von K v die haben gleiche Nachbarn von v .$(C,I)$$C$$I$$v\in I$$K_v$$K_v$$v$

Ich denke, das hätte untersucht werden müssen, aber es ist schwierig, so etwas in graphclasses.org zu suchen.

Ich glaube, dass dies genau die ( , P 4 , 2 P 3 ) -freien Graphen sind, dh die Graphen, deren induzierte Untergraphen keine 4-Zyklen, 4-Vertex-Pfade oder die aus der disjunkten Vereinigung gebildeten Graphen enthalten von zwei 3-Vertex-Pfaden. Diese Klasse scheint zwischen den Schwellenwertgraphen selbst, die als ( C 4 , P 4 , 2 K 2 ) -freie Graphen charakterisiert werden können, und den trivial perfekten Graphen (Schnittpunkten verschachtelter Intervalle) zu liegen, die als charakterisiert werden können ( C 4 , P $C_4$$P_4$$2P_3$$C_4$$P_4$$2K_2$$C_4$$P_4$) -freie Grafiken. Ich glaube nicht, dass es einen Namen hat. Zumindest scheint es nicht auf graphclasses.org gelistet zu sein.

Um zu sehen, dass dies die richtige Charakterisierung ist, betrachten Sie die Darstellung trivial perfekter Graphen als transitive Abschlüsse von Wurzelwäldern. Eine Gesamtstruktur führt nur dann zu einem (verbundenen) Schwellenwertdiagramm, wenn sie einen gerichteten Pfad aufweist, der alle Nicht-Blattknoten enthält: Das Hinzufügen eines neuen isolierten Scheitelpunkts in der Gesamtstruktur entspricht dem Hinzufügen eines neuen Einzelknotenbaums, was nicht der Fall ist Diese Eigenschaft wird nicht geändert, und das Hinzufügen eines neuen Scheitelpunkts, der mit allen anderen verbunden ist, entspricht dem Hinzufügen einer neuen Wurzel, die mit allen vorherigen Baumwurzeln verbunden ist, wodurch diese Eigenschaft wiederum nicht geändert wird (die neue Wurzel kann Teil des Pfades sein). .

Jetzt entspricht Ihre Clique-Ersetzungsoperation in der Baumansicht eines trivial perfekten Diagramms der Unterteilung von Baumkanten in Pfade (oder dem Ersetzen eines Baums mit einem Scheitelpunkt durch einen Pfad). Die Gesamtstrukturen, die Sie mit dieser Operation erhalten können, sind diejenigen, in denen es einen einzelnen gerichteten Pfad gibt, der alle Knoten mit zwei oder mehr untergeordneten Knoten enthält. Ein Wald hat einen solchen Pfad genau dann, wenn er nicht über zwei unabhängige Gabeln verfügt (Knoten mit zwei oder mehr Kindern, von denen sich keines erreichen kann). Und der Teilgraph, den Sie in Ihrem trivial perfekten Graphen erhalten, wenn es zwei Gabeln gibt, ist genau .$2P_3$

Die Graphen, deren Ergänzungen zu der Klasse gehören, nach der Sie fragen - das heißt ( , P 4 , co- 2 P $2K_2$$P_4$$2P_3$ ) -freien Graphen, wurden von Gurski untersucht, der zeigte, dass sie dieselben sind wie die Graphen von lineare Clique-Breite höchstens zwei. Siehe Satz 10 von Gurski, Frank, "Charakterisierungen für Co-Graphen, die durch Operationen mit eingeschränkter NLC-Breite oder Clique-Breite definiert sind", Discrete Math. 306 (2006), Nr. 2, 271–277 .