Dies mag eine naive Frage sein, aber hier geht es weiter. (Bearbeiten - es werden keine positiven Stimmen abgegeben, aber auch niemand hat eine Antwort angeboten. Vielleicht ist die Frage schwieriger, dunkler oder unklarer als ich dachte?)
Gödels erster Unvollständigkeitssatz kann als Folge der Unentscheidbarkeit des Stoppproblems bewiesen werden (z. B. Sipser Ch. 6; Blogbeitrag von Scott Aaronson ).
Soweit ich weiß (bestätigt durch die Kommentare), hängt dieser Beweis nicht von der Church-Turing-These ab. Wir leiten einen Widerspruch ab, indem wir zeigen, dass eine Turingmaschine in einem vollständigen und konsistenten formalen System das Stoppproblem lösen kann. (Wenn wir andererseits nur gezeigt hätten, dass ein wirksames Verfahren das Problem des Stillstands entscheiden könnte, müssten wir auch die These von Church-Turing annehmen, um einen Widerspruch zu erhalten.)
Wir könnten also sagen, dass dieses Ergebnis eine gewisse intuitive Unterstützung für die Church-Turing-These bietet, da es zeigt, dass eine Einschränkung der Turing-Maschinen eine universelle Einschränkung impliziert. (Aaronsons Blog-Beitrag unterstützt diese Ansicht auf jeden Fall.)
Meine Frage ist, ob wir durch Umkehrung etwas Konkreteres erreichen können: Welche formalen Implikationen haben Gödels Theoreme für die Church-Turing-These? Zum Beispiel scheint es intuitiv möglich zu sein, dass der Satz der ersten Unvollständigkeit impliziert, dass kein wirksames Verfahren bestimmen kann, ob eine beliebige Turingmaschine anhält; Die Argumentation könnte lauten , dass die Existenz eines solchen Verfahrens die Fähigkeit impliziert, eine vollständige konsistente Theorie zu konstruieren . Ist das richtig? Gibt es Ergebnisse in dieser Richtung?
(Ich frage aus Neugier - ich studiere selbst keine Logik - also entschuldige ich mich, wenn dies bekannt ist oder nicht auf Forschungsebene. In diesem Fall ist dies eine Referenzanfrage! Vielen Dank für Kommentare oder Antworten !)
Frage, die verwandt klingt, aber nicht: Theorem der Kirche und Gödels Unvollständigkeitssätze
EDIT: Ich werde versuchen, die Frage klarer zu machen! Erstens - meine naive Intuition ist, dass Gödels Unvollständigkeit zumindest einige Einschränkungen dessen beinhalten sollte, was berechenbar ist oder nicht. Diese Einschränkungen wären unbedingt erforderlich, dh sie sollten für alle Berechnungsmodelle gelten und nicht nur für Turing-Maschinen.
Also ich frage mich , ob dies der Fall ist (es muss einige Implikation, nicht wahr?). Angenommen, ich bin sehr gespannt, wie sich dies auf die Church-Turing-These auswirkt - die Vorstellung, dass alles, was effektiv berechenbar ist, von einer Turing-Maschine berechnet werden kann. Zum Beispiel scheint es möglich, dass das Vorhandensein eines wirksamen Verfahrens zur Entscheidung, ob eine Turingmaschine anhält, dem ersten Unvollständigkeitssatz widerspricht. Dieses Ergebnis würde zeigen, dass keine mögliche Berechnungsmethode "viel" leistungsfähiger sein kann als Turing-Maschinen; aber ist dieses Ergebnis wahr? Ich habe ein paar ähnliche Fragen in den Kommentaren. Es würde mich sehr interessieren, eine Antwort auf eine dieser Fragen zu hören, einen Hinweis auf eine Antwort in der Literatur, eine Erklärung, warum meine gesamte Argumentation falsch ist, oder andere Kommentare!