Das Verhältnis von Gödels Unvollständigkeitssätzen zur kirchlichen These

Dies mag eine naive Frage sein, aber hier geht es weiter. (Bearbeiten - es werden keine positiven Stimmen abgegeben, aber auch niemand hat eine Antwort angeboten. Vielleicht ist die Frage schwieriger, dunkler oder unklarer als ich dachte?)

Gödels erster Unvollständigkeitssatz kann als Folge der Unentscheidbarkeit des Stoppproblems bewiesen werden (z. B. Sipser Ch. 6; Blogbeitrag von Scott Aaronson ).

Soweit ich weiß (bestätigt durch die Kommentare), hängt dieser Beweis nicht von der Church-Turing-These ab. Wir leiten einen Widerspruch ab, indem wir zeigen, dass eine Turingmaschine in einem vollständigen und konsistenten formalen System das Stoppproblem lösen kann. (Wenn wir andererseits nur gezeigt hätten, dass ein wirksames Verfahren das Problem des Stillstands entscheiden könnte, müssten wir auch die These von Church-Turing annehmen, um einen Widerspruch zu erhalten.)

Wir könnten also sagen, dass dieses Ergebnis eine gewisse intuitive Unterstützung für die Church-Turing-These bietet, da es zeigt, dass eine Einschränkung der Turing-Maschinen eine universelle Einschränkung impliziert. (Aaronsons Blog-Beitrag unterstützt diese Ansicht auf jeden Fall.)

Meine Frage ist, ob wir durch Umkehrung etwas Konkreteres erreichen können: Welche formalen Implikationen haben Gödels Theoreme für die Church-Turing-These? Zum Beispiel scheint es intuitiv möglich zu sein, dass der Satz der ersten Unvollständigkeit impliziert, dass kein wirksames Verfahren bestimmen kann, ob eine beliebige Turingmaschine anhält; Die Argumentation könnte lauten , dass die Existenz eines solchen Verfahrens die Fähigkeit impliziert, eine vollständige $\omega$ konsistente Theorie zu konstruieren . Ist das richtig? Gibt es Ergebnisse in dieser Richtung?

(Ich frage aus Neugier - ich studiere selbst keine Logik - also entschuldige ich mich, wenn dies bekannt ist oder nicht auf Forschungsebene. In diesem Fall ist dies eine Referenzanfrage! Vielen Dank für Kommentare oder Antworten !)

Frage, die verwandt klingt, aber nicht: Theorem der Kirche und Gödels Unvollständigkeitssätze

EDIT: Ich werde versuchen, die Frage klarer zu machen! Erstens - meine naive Intuition ist, dass Gödels Unvollständigkeit zumindest einige Einschränkungen dessen beinhalten sollte, was berechenbar ist oder nicht. Diese Einschränkungen wären unbedingt erforderlich, dh sie sollten für alle Berechnungsmodelle gelten und nicht nur für Turing-Maschinen.

Also ich frage mich , ob dies der Fall ist (es muss einige Implikation, nicht wahr?). Angenommen, ich bin sehr gespannt, wie sich dies auf die Church-Turing-These auswirkt - die Vorstellung, dass alles, was effektiv berechenbar ist, von einer Turing-Maschine berechnet werden kann. Zum Beispiel scheint es möglich, dass das Vorhandensein eines wirksamen Verfahrens zur Entscheidung, ob eine Turingmaschine anhält, dem ersten Unvollständigkeitssatz widerspricht. Dieses Ergebnis würde zeigen, dass keine mögliche Berechnungsmethode "viel" leistungsfähiger sein kann als Turing-Maschinen; aber ist dieses Ergebnis wahr? Ich habe ein paar ähnliche Fragen in den Kommentaren. Es würde mich sehr interessieren, eine Antwort auf eine dieser Fragen zu hören, einen Hinweis auf eine Antwort in der Literatur, eine Erklärung, warum meine gesamte Argumentation falsch ist, oder andere Kommentare!

Hier ist eine philosophische Antwort, die Sie unterhalten kann.

Gödels Unvollständigkeitssätze handeln vom formalen System der Peano-Arithmetik. Als solche sagen sie nichts über Rechenmodelle aus, zumindest nicht ohne ein gewisses Maß an Interpretation.

Die Peano-Arithmetik zeigt leicht das Vorhandensein nicht berechenbarer Funktionen. Da es sich beispielsweise um eine klassische Theorie handelt, die aussagekräftig genug ist, um über Turing-Maschinen zu sprechen, zeigt sie den besonderen Fall einer ausgeschlossenen Mitte, der besagt, dass jede Turing-Maschine für immer anhält oder läuft. Aus der Arbeit von Gödel entstand jedoch ein wichtiger Begriff der Berechenbarkeit, nämlich der einer (primitiven) rekursiven Funktion . So ist es nicht die Sätze selbst , dass eine Verbindung zu Berechenbarkeit, sondern die Methode des Nachweises , die sie herstellt.

Der Kern der Unvollständigkeitssätze kann unter Verwendung der Beweisbarkeitslogik in abstrakter Form ausgedrückt werden, das ist eine Art modale Logik. Dies gibt den Unvollständigkeitssätzen einen weiten Anwendungsbereich, der weit über die Peano-Arithmetik und Berechenbarkeit hinausgeht. Sobald bestimmte Fixpunktprinzipien erfüllt sind, tritt Unvollständigkeit ein. Diese Fixpunktprinzipien werden durch die traditionelle Berechenbarkeitstheorie erfüllt, die daher der Unvollständigkeit zum Opfer fällt, womit ich die Existenz untrennbarer ce-Mengen meine. Da die nachweisbaren und widerlegbaren Sätze der Peano-Arithmetik untrennbare ce-Mengen bilden, können die traditionellen Unvollständigkeitssätze von Gödel als Folge von Unvollständigkeitsphänomenen in der Berechenbarkeit angesehen werden. (Ich bin philosophisch vage und dein Kopf wird weh tun, wenn du versuchst, mich als Mathematiker zu verstehen.)

Ich nehme an, wir können zwei Standpunkte dazu vertreten, wie sich all dies auf den informellen Begriff der Wirksamkeit bezieht ("Dinge, die tatsächlich berechnet werden können"):

1. Nach allem, was wir wissen, sind wir nur ein ziemlich großer endlicher Automat, der in der Lage ist, fiktive Superhelden namens "Turing-Maschinen" zu betrachten, die mit unbegrenzten Zahlen rechnen können (keuchen!). In diesem Fall war Gödel nur ein sehr guter Geschichtenerzähler. Wie sich seine Geschichten in Effektivität umsetzen lassen, hängt dann von einer (notwendigerweise ungenauen) Anwendung der Vorstellungskraft auf die Realität ab.

2. Da Unvollständigkeitsphänomene in vielen Zusammenhängen und sicherlich in allen vernünftigen Begriffen der Berechenbarkeit auf natürliche Weise auftreten, schließen wir, dass dies auch für die Wirksamkeit der Fall sein muss. Nehmen wir zum Beispiel an, wir könnten Turing-Maschinen in Schwarze Löcher schicken, um die unendlichen Turing-Maschinen von a la Joel Hamkin zu berechnen . Dies gibt uns immense Rechenleistung, bei der das Orakel ein Kindergartenspielzeug ist. Dennoch erfüllt das Modell die Grundbedingungen, die es uns ermöglichen, die Existenz untrennbarer Mengen nachzuweisen. Und deshalb ist das Rechnen wieder nicht allmächtig und die Unvollständigkeit eine Tatsache des Lebens.

Ich möchte Neels Kommentar hervorheben , die Hauptinstrumente sowohl für die Unentscheidbarkeit des Anhaltens als auch für Godels Unvollständigkeitssätze sind:

1. Codierung syntaktischer Konzepte wie Beweise, Berechnungen usw. durch Zahlen / Zeichenfolgen und Beziehungen / Funktionen darüber;
2. Gödels Fixpunktsatz.

Die Kodierung syntaktischer Objekte und Konzepte mag heute offensichtlich erscheinen, dass wir an digitale Computer gewöhnt sind, aber es ist eine geniale Idee, die für universelle Computer und Software unerlässlich ist. Alles, was benötigt wird, um die Existenz eines universellen Simulators zu beweisen, ist in seiner Arbeit enthalten.

Gödel zeigt auch, dass wir diese syntaktischen Konzepte und allgemein TM-berechenbaren Beziehungen / Funktionen durch einfache arithmetische Formeln darstellen können.

Kurz gesagt, der Unvollständigkeitsnachweis von Godel lautet wie folgt:

$T$

1. $Provable_T(x)$$T$$x$$T$
2. $G$$\lnot Provable(x)$$T \vdash G \leftrightarrow \lnot Provable_T(\ulcorner G \urcorner)$

Die Unentscheidbarkeit des Stoppproblems für TMs verwendet ähnliche Inhaltsstoffe:

1. Es gibt einen TM- , der erkennt, ob das von codierte TM anhält.$Halt(x)$$x$
2. Kleenes Fixpunkt zum Finden eines TM st akzeptiert, wenn akzeptiert.N ¬ H a l t ( ⟨ M ⟩ $N$$N$$\lnot Halt(\langle M \rangle)$

Die Unentscheidbarkeit des Anhaltens für TMs führt zu Unvollständigkeit, da wir in und die Sätze von rechnerisch aufzählen können. Wenn vollständig ist, können wir entscheiden, ob ein gegebenes TM anhält oder nicht, indem wir prüfen, ob die entsprechende Formel nachweisbar ist in .T T T $Halt(x)$$T$$T$$T$$T$

Das Gegenteil ist auch einfach: Wenn eine Theorie ce ist, dann ist die Beweisbarkeit in unter Verwendung des Halteproblems entscheidbar, daher könnten wir eine vollständige Theorie konstruieren, indem wir einfach immer mehr Formeln hinzufügen, deren Negationen nicht beweisbar sind. Wenn also das Stoppproblem entscheidbar wäre, könnten wir eine vollständige ce-Erweiterung von .T $T$$T$$T$

Die Beweise sind sehr ähnlich und verwenden dieselben Zutaten (obwohl für jemanden, der mit TMs besser vertraut ist, aber nicht viel mit Logik zu tun hat, die Unentscheidbarkeit des Stoppproblems möglicherweise einfacher aussieht: Die spezielle Instanz des Fixpunktsatzes, die im Unentscheidbarkeitsbeweis verwendet wird, sieht möglicherweise einfacher aus als die besondere Instanz des Fixpunkts, die im Satz von Godel verwendet wird, obwohl sie im Wesentlichen gleich sind, aber die wesentlichen Ideen bestehen darin, syntaktische Objekte und Konzepte nur mit Zahlen / Strings und Formeln / Funktionen zu codieren und einen Fixpunktsatz anzuwenden).

Ich denke, Sie können stärkere Berechnungsmodelle für die Theoreme verwenden, Sie können die Berechenbarkeit für Orakel , das Stoppproblem für TMs mit Zugriff auf Orakel und Arithmetik betrachten, die ein Prädikat und Axiome hat, die den Graphen von definieren . Wir werden eine ähnliche Situation für die Berechenbarkeit in Bezug auf .O P O ( x ) O $O$$O$$P_O(x)$$O$$O$

ps:
Beachten Sie, dass Godels Theoreme 1931 veröffentlicht wurden, während Turings Unentscheidbarkeit 1936 veröffentlicht wurde. Zum Zeitpunkt der Veröffentlichung von Godels Artikel waren TMs nicht definiert und Godel verwendete ein anderes äquivalentes Modell. IIRC, Godel war mit seinem Ergebnis, das ursprüngliche Ziel von Hilberts Programm zu erreichen, nicht ganz zufrieden, da er nicht davon überzeugt war, dass das von ihm verwendete Berechnungsmodell den intuitiven Begriff der algorithmischen Berechenbarkeit wirklich erfasst, sondern erst nach Turings philosophischem Argument über die Erfassung von TMs zufrieden war der intuitive Begriff der algorithmischen Berechenbarkeit. Ich denke, Sie können mehr darüber in Godels gesammelten Werken lesen.